1 绪论 1
1.1 数值分析研究的对象和内容 1
1.2 误差来源和分类 2
1.3 绝对误差、相对误差与有效数字 3
1.4 数值计算中的若干原则 6
习题1 10
2 解线性方程组的直接方法 11
2.1 Gauss（高斯）消去法 12
2.1.1 顺序Gauss消去法 12
2.1.2 列主元Gauss消去法 16
2.2 矩阵三角分解方法 19
2.2.1 Gauss消去法的矩阵运算 19
2.2.2 直接三角分解方法 22
2.2.3 平方根法 28
2.2.4 追赶法 31
2.3 解大型带状方程组的直接法 35
2.3.1 三角分解法解大型带状方程组 35
2.3.2 大型带状矩阵的压缩存贮方法 37
2.4 向量和矩阵的范数 40
2.4.1 向量的范数 40
2.4.2 矩阵的范数 42
2.5 线性方程组固有性态与误差分析 45
2.5.1 方程组的固有性态 45
2.5.2 预条件和迭代改善 48
习题2 50
3 解线性方程组的迭代法 53
3.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 53
3.2 迭代法的一般形式与收敛性 58
3.3 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性 60
3.4 逐次超松弛迭代法——SOR方法 62
3.5 块迭代法 66
3.5.1 块Jacobi迭代法 67
3.5.2 块SOR方法 68
3.6 共轭梯度法 68
3.6.1 等价的极值问题与最速下降法 69
3.6.2 共轭梯度法 71
习题3 74
4 非线性方程求根 77
4.1 二分法 77
4.2 简单迭代法 80
4.2.1 简单迭代法的一般形式 80
4.2.2 简单迭代法的收敛条件 82
4.2.3 简单迭代法的收敛阶 85
4.3 Newton迭代法 88
4.3.1 Newton迭代格式 88
4.3.2 Newton迭代法的收敛性 89
4.3.3 Newton迭代法的变形 92
4.4 解非线性方程组的迭代法 98
4.4.1 Newton迭代法 98
4.4.2 拟Newton迭代法 101
习题4 104
5 矩阵特征值与特征向量的计算 107
5.1 乘幂法与反幂法 108
5.1.1 乘幂法 108
5.1.2 加速技术 118
5.1.3 反幂法 121
5.2 Jacobi方法 123
5.2.1 平面旋转矩阵 124
5.2.2 Jacobi方法 127
5.3 QR方法 130
5.3.1 平面反射矩阵及其性质 130
5.3.2 QR分解定理 132
5.3.3 QR方法 134
习题5 138
6 插值与逼近 141
6.1 多项式插值问题 141
6.2 Lagrange插值多项式 143
6.2.1 线性插值与抛物线插值 143
6.2.2 n次Lagrange插值多项式 144
6.2.3 Lagrange插值余项 145
6.3 Newton插值多项式 148
6.3.1 差商及其性质 149
6.3.2 Newton插值多项式及其余项 150
6.4 Hermite插值多项式 152
6.5 分段插值多项式 155
6.5.1 分段Lagrange插值 155
6.5.2 分段三次Hermite插值 157
6.6 三次样条插值 158
6.6.1 三次样条函数 158
6.6.2 三转角方法 159
6.6.3 三弯矩方法 162
6.7 有理插值 166
6.8 正交多项式与最佳均方逼近 171
6.8.1 正交多项式 172
6.8.2 最佳均方逼近 176
6.9 数据拟合的最小二乘法 179
6.9.1 数据拟合问题 179
6.9.2 数据拟合的最小二乘法 179
习题6 184
7 数值积分与数值微分 188
7.1 数值积分概述 188
7.1.1 数值积分的基本概念 188
7.1.2 插值型数值求积公式 190
7.1.3 Newton-Cotes求积公式 192
7.2 复化求积公式 198
7.3 Romberg求积公式 202
7.3.1 区间逐次分半的梯形公式 203
7.3.2 Romberg积分公式 205
7.4 Gauss型求积公式 209
7.4.1 Gauss型求积公式的一般理论 209
7.4.2 几种Gauss型求积公式 212
7.5 特殊积分的处理技术 217
7.5.1 振荡函数的积分 218
7.5.2 奇异积分 221
7.6 数值微分 225
7.6.1 差商型数值微分公式 225
7.6.2 插值型数值微分公式 227
习题7 229
8 常微分方程数值解法 232
8.1 引言 232
8.1.1 为什么要研究数值解法 232
8.1.2 构造差分方法的基本思想 233
8.2 改进的Euler方法和Taylor展开方法 236
8.2.1 改进的Euler方法 236
8.2.2 差分公式的误差分析 238
8.2.3 Taylor展开方法 239
8.3 Runge-Kutta方法 241
8.3.1 Runge-Kutta方法的构造 241
8.3.2 变步长Runge-Kutta方法 246
8.4 单步方法的收敛性和稳定性 247
8.4.1 单步方法的收敛性 247
8.4.2 单步方法的稳定性 249
8.5 线性多步方法 251
8.5.1 利用待定参数法构造线性多步方法 252
8.5.2 利用数值积分构造线性多步方法 253
8.6 常微分方程组与高阶方程的差分方法 256
8.6.1 一阶常微分方程组的差分方法 256
8.6.2 化高阶方程为一阶方程组 259
8.7 刚性方程组简介 261
8.8 常微分方程边值问题的数值解法 263
8.8.1 打靶法 263
8.8.2 有限差分方法 265
习题8 270
9 偏微分方程差分方法 274
9.1 椭圆型方程边值问题的差分方法 274
9.1.1 差分方程的建立 274
9.1.2 一般区域的边界条件处理 278
9.1.3 差分方程解的存在唯一性与迭代求解 280
9.2 抛物型方程的差分方法 282
9.2.1 一维问题 282
9.2.2 差分格式的稳定性 288
9.2.3 高维问题 292
9.3 双曲型方程的差分方法 294
9.3.1 一阶双曲型方程 294
9.3.2 一阶双曲型方程组 298
9.3.3 二阶双曲型方程 299
习题9 301
习题解答 304
上机实验 319
参考文献 331