第一章 准备知识 1
1 欧氏空间的映射 1
1.1 映射的微分 链规则 1
1.2 反函数定理 6
1.3 秩定理 11
1.4 Sard定理 14
2 多重线性代数 14
2.1 向量空间 对偶空间 14
2.2 张量积 张量代数 17
2.3 对称和反（对）称张量 22
2.4 外代数 25
2.5 欧氏向量空间 31
习题 34
第二章 微分流形 37
1 微分流形的基本概念 37
1.1 微分流形的定义 37
1.2 实射影空间Pm（R）Grassmann流形 41
1.3 流形的映射 45
1.4 浸入与淹没 子流形 48
1.5 单位分解 55
习题 58
2 向量场 59
2.1 切空间 切映射 59
2.2 切丛 向量场 64
2.3 单参数变换群 70
2.4 分布Frobenius定理 叶状结构 75
习题 79
3 张量场 80
3.1 张量场 80
3.2 外微分 83
3.3 黎曼度量 92
习题 96
4 流形上的积分 Stokes定理 97
4.1 流形的定向 97
4.2 带边界流形 99
4.3 流形上的积分 Stokes定理 103
习题 107
第三章 联络与曲率 110
1 仿射联络 110
1.1 Rm及其子流形上的联络 110
1.2 微分流形上的仿射联络 113
1.3 仿射联络的挠率和曲率 114
习题 118
2 黎曼联络 119
2.1 黎曼联络 119
2.2 共变微分 125
习题 131
3 曲率 133
3.1 曲率张量 133
3.2 截面曲率 Ricci曲率 纯量曲率 138
3.3 共形变换 144
习题 148
4 调和形式 149
4.1 Hodge星算子 149
4.2 Laplace-Beltrami算子 154
4.3 Hodge定理及其几何应用 160
习题 164
第四章 测地线 166
1 测地线与测地完备性 166
1.1 测地线与指数映射 法坐标系 166
1.2 测地完备性 174
习题 177
2 弧长的变分 179
2.1 弧长的变分 179
2.2 Jacobi场 183
2.3 共轭点 187
习题 192
3 曲率与拓扑 193
3.1 指标引理 Myers定理 193
3.2 非正曲率流形的Hadamard定理 197
习题 200
4 比较定理 201
4.1 Hessian比较定理 201
4.2 Laplacian比较定理 205
4.3 体积比较定理 209
习题 215
第五章 黎曼子流形 217
1 子流形的基本公式 217
1.1 等距浸入 217
1.2 基本方程 221
1.3 活动标架法 223
1.4 常曲率空间的子流形 226
习题 227
2 超曲面 228
2.1 超曲面的基本公式及其应用 228
2.2 主曲率 232
2.3 欧氏空间的超曲面 236
习题 242
3 极小子流形 243
3.1 体积的变分 243
3.2 欧氏空间的极小子流形 249
3.3 球面上的极小子流形 251
3.4 Simons不等式 254
习题 257
4 全绝对曲率与Gauss映射 259
4.1 Lipschitz-Killing曲率 259
4.2 全绝对曲率 263
4.3 Gauss映射 266
4.4 Gauss映射的调和性 268
习题 270
附录Ⅰ 常微分方程组存在定理 272
附录Ⅱ Sard定理 277
附录Ⅲ 黎曼淹没 280
附录Ⅳ 广义极大原理 286
附录Ⅴ Lie群初貌 290
附录Ⅵ 主丛上的联络 295
附录Ⅶ 黎曼流形的收敛性和有限性 300
附录Ⅷ 复流形与复几何初步 304
附录Ⅸ 关于Finsler几何 320
附录Ⅹ Ricci流简介 329
参考文献 337
索引 339