第一部分 笛卡儿坐标、向量、线性变换 1
第一章 平面上和空间中的笛卡儿坐标和向量。二阶和三阶矩阵的几何 1
第一篇 笛卡儿坐标和向量：仿射关系 1
1 坐标轴、平面上和空间中的笛卡儿坐标 1
1．坐标轴 1
2．平面上的笛卡儿坐标 2
3．平面上的右和左坐标系统 3
4．空间中的笛卡儿坐标 4
5．空间中的右和左坐标系统 6
6．一般的笛卡儿坐标、斜角坐标和直角坐标 6
2 向量，它们的加法、减法和乘上数量的乘法 7
1．向量，作为有顺序的点偶或者有方向的线段 7
2．向量的相等 7
3．自由向量 8
4．共线和共面向量 9
5．向量乘上数量的乘法 9
6．向量的加法和减法 10
7．向量的线性组合 11
3 笛卡儿坐标的向量引进法 11
1．直线上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法 12
2．平面上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法 12
3．空间中向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法 14
4．一般的笛卡儿坐标，斜角坐标和直角坐标。基本的坐标平行四边形和基本的坐标平行六面体 15
4 直线上的向量 16
1．直线上向量乘上数量的乘积的坐标 16
2．直线上向量的和以及差的坐标 16
3．直线上向量的任意线性组合的坐标 17
4．直线上向量的代数系统和实数的代数系统的同构 18
5 平面上和空间中的射影，向量的线性组合的射影 18
1．到直线上的正射影 18
2．到直线上平行於任意直线或者平面的射影 18
3．到平面上的射影 19
4．关於向量射影的引理 19
5．向量的任意线性组合的射影 20
6 向量的线性组合的坐标，向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则 21
1．向量在坐标轴上射影的数值 21
2．向量的线性组合的坐标 21
3．平面上或者空间中向量的代数系统和有顺序的实数偶或者实数三位的代数系统的同构 22
4．向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则 22
5．附言 23
6．两个向量共线和三个点共线的检验法 23
7 变成新的笛卡儿坐标的变换 24
1．任意笛卡儿坐标的变换公式 25
2．平面上直角坐标的变换公式 26
第二篇 笛卡儿坐标和向量：度量关系 27
8 向量在轴线上的正射影 28
1．两个方向中间的角 28
2．向量在轴线上的正射影的数值 28
9 数量乘积 29
1．数量乘积的定义和基本的几何性质 29
2．数量乘积和向量在轴线上的正射影 30
3．数量乘积的基本的代数性质 31
10 标架的度量规定法 32
1．参数 32
2．在结晶学里所采用的标架的度量参数 32
3．标架的基本的度量参数 33
4．标架的度量矩阵 34
5．标架参数的必要和充分的条件 35
11 基本的度量公式 36
1．平面上标架的双线性度量形式 36
2．空间中标架的双线性度量形式 37
3．标架的二次度量形式 38
4．向量长度和两个向量中间的角利用标架的二次形式和双线性形式表示的式子 39
5．在直角坐标里关於数量乘积、向量长度和两个向量中间的角的公式 40
6．方向余弦 41
12 对偶标架、反变和共变坐标 41
1．平面上和空间中的对偶标架 42
2．给了两个向量对於对偶的两个标架的坐标，求它们的数量乘积的公式 43
3．反变和共变坐标 44
第三篇 关於坐标的基本问题 45
13 两个点中间的距离 45
1．坐标轴上两个点中间的距离 45
2．在直角坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离 45
3．在一般的笛卡儿坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离 46
14 分线段成已知比值 47
1．分线段成内分和外分比值 47
2．分线段成已知比值的点，关於它的坐标的公式 48
3．线段中点的坐标 50
4．附言 50
15 重心 51
1．平行力组的合力所作用的点 51
2．质点组的重心 52
16 三角形和多角形的面积 53
1．在直角坐标里三角形的面积 53
2．平面上有向多角形的概念 55
3．关於面积遮盖的引理 55
4．在直角坐标里多角形的面积 58
5．在一般的笛卡儿坐标里多角形的面积 59
17 平面面积计 60
第四篇 二阶和三阶矩阵的几何 61
18 二阶和三阶行列式的几何意义 61
1．平面上作在有序向量偶上的平行四边形的面积和空间中作在有序向量三位上的平行六面体的体积 61
2．记号（a,b）和（a,b,c）的主要性质 62
3．二阶行列式，作为平面上作在有序向量偶上的平行四边形面积的比值 64
4．三阶行列式，作为作在有序向量三位上的平行六面体体积的比值 65
5．在直角坐标里三角形的面积和四面体的体积 68
6．三个点在一条直线上和四个点在一个平面上的必要和充分的条件 68
19 行列式运算的法则 69
1．矩阵，按行和列作为向量组 69
2．行列式的基本性质 69
3．行列式元素的代数补余式，按一排的元素展开行列式 71
20 张在向量上的空间，向量的线性相关，矩阵的秩数 72
1．张在向量上的空间 72
2．向量的线性相关 73
3．空间的维数和线性无关向量的个数 73
4．张在向量上的空间的维数和向量矩阵的秩数 74
21 线性方程组 76
1．有三个未知数的一组三个一次方程，作为沿着三个向量去分解向量的问题 76
2．克拉磨公式 78
3．有三个未知数的一组三个齐次一次方程，作为求与三个已知向量正交的向量的问题 80
4．有三个未知数的一组两个齐次一次方程 80
22 向量乘积 81
1．空间中的有向平面段·二重向量 81
2．自由二重向量 82
3．向量乘积 83
4．三个向量的混合乘积 83
5．向量乘积的直角坐标 85
6．向量乘积的基本性质 86
7．空间中三角形的面积 87
8．关於对偶标架的向量的公式 88
第二章 正交映射和仿射映射 89
23 引言 89
1．变换在几何学中的意义 89
2．映射 90
3．变换的乘法 91
4．变换的乘积对於因子次序的依赖性 91
5．群的概念 92
6．关於变换群 93
第一篇 正交映射的几何理论 93
24 正交映射的定义和最简单的性质 93
1．运动 93
2．反射 94
3．正交映射 94
4．关於正交映射的基本引理 95
25 关於正交映射的第一基本定理 98
26 关於正交变换的第二基本定理 99
1．第一种和第二种正交变换 99
2．关於正交变换的第二基本定理 101
3．正交变换几何的若干进一步的结果 102
第二篇 仿射映射的几何理论 103
27 仿射映射的定义和最简单的性质 103
1．仿射映射 103
2．压缩 104
3．关於仿射映射的引理 106
28а 简单比值作为仿射映射的不变量（第一种讲法） 107
1．关於线段中点的引理 107
2．达布引理 108
3．简单比值的不变性 110
28б 简单比值作为仿射映射的不变量（第二种讲法） 111
1．函数方程f（x+y）＝f（x）＋f（y） 111
2．实数域的一个代数性质 113
3．简单比值的不变性 115
29 关於仿射映射的第一基本定理 117
30 关於仿射映射的第二基本定理 119
1．关於仿射映射的第二基本定理 119
2．在平面仿射映射下面积的改变和在空间仿射变换下体积的改变 122
3．在仿射映射下长度的改变 122
31 若干特殊的仿射映射 123
1．同位相似 123
2．相似 124
3．错切 125
第三篇 线性变换 126
32 仿射映射 126
1．仿射映射的定义 126
2．仿射映射的基本性质 128
3．变积系数，第一种和第二种的仿射变换 129
4．在仿射映射下，任意平面图形的面积和任意空间体的体积的改变 131
5．仿射变换乘积的变积系数 132
6．正交映射 132
7．仿射变换群和它的若干子群 133
33 仿射变换，作为行列式不等於零的线性变换 135
1．仿射变换的公式 135
2．仿射变换作为行列式不零等於的线性变换 136
3．退化的线性变换 138
4．非退化的线性变换的两重解释 139
34 齐次线性变换，行列式不等於零的正方矩阵的群 140
1．齐次线性变换 140
2．行列式不等於零的正方矩阵的几何意义 141
3．齐次线性变换的乘法和正方矩阵的乘法 141
4．行列式不等於零的正方矩阵的群 143
5．矩阵乘积的行列式 144
6．矩阵的转置和它与矩阵相乘的关系 145
7．对於原标架逐次的像而言，仿射变换乘积的矩阵 146
8．在变到新的坐标标架时，仿射变换矩阵的改变 147
9．带三个未知数的三个线性方程的组，作为求在有已知矩阵的仿射变换下变成已知向量的向量的问题 149
35 正交矩阵 149
1．正交矩阵的定义 149
2．正交关系 150
3．正交矩阵，作为保留变数的平方和不变的齐次线性变换的矩阵 152
36 欧拉角 154
索引 157