第1章 向量、平面与直线 1
1.1 向量的线性运算 1
1.1.1 加法和数乘 1
1.1.2 共线与共面 5
1.2 基与仿射坐标系 8
1.2.1 向量的坐标 8
1.2.2 点的坐标 9
1.3.1 投影 11
1.3 向量的内积与外积 11
1.3.2 内积 13
1.3.3 外积 14
1.3.4 体积与行列式 16
1.4 空间的平面与直线 21
1.4.1 平面与直线的方程 21
1.4.2 位置关系 25
1.4.3 度量性质 27
习题1 30
2.1.1 图形与方程 34
2.1 常见曲面及其方程 34
第2章 二次曲面与坐标变换 34
2.1.2 旋转面 38
2.1.3 柱面与锥面 42
2.2 二次曲面的几何性质 47
2.2.1 对称性 47
2.2.2 平面截线 48
2.2.3 直纹面 52
2.3 坐标变换 53
2.3.1 平面坐标变换 54
2.3.2 二次曲线方程的化简 56
2.3.3 空间坐标变换 59
2.3.4 二次曲面方程的化简 61
2.4 等距变换与仿射变换 63
2.4.1 映射 63
2.4.2 平面点变换 65
2.4.3 空间点变换 68
习题2 71
3.1.1 数域 77
第3章 线性空间与线性映射 77
3.1 线性空间 77
3.1.2 线性空间的定义 78
3.1.3 子空间 81
3.2 基和维数 84
3.2.1 线性相关与线性无关 84
3.2.2 基的存在性与维数不变性 86
3.2.3 子空间的维数与向量组的秩 89
3.3 线性映射 91
3.3.1 线性映射的像与核 91
3.3.2 线性映射的运算 95
3.3.3 线性函数与对偶空间 97
3.4 商空间与直和 101
3.4.1 商空间与同态基本定理 101
3.4.2 直和与投影变换 103
习题3 109
4.1 矩阵的基本运算 114
4.1.1 线性运算 114
第4章 矩阵、线性方程组与行列式 114
4.1.2 矩阵乘法 116
4.1.3 分块方法 120
4.1.4 向量的坐标变换 123
4.2 矩阵与线性方程组 126
4.2.1 Gauss消去法 126
4.2.2 矩阵的秩与初等变换 131
4.2.3 线性方程组的理论 138
4.3.1 行列式的定义及基本性质 143
4.3 方阵的行列式 143
4.3.2 Laplace展开定理 150
4.3.3 Cramer法则 153
习题4 156
第5章 多项式 165
5.1 基本概念 165
5.1.1 代数 165
5.1.2 一元多项式代数 166
5.1.3 带余除法 169
5.1.4 整除与同余 171
5.2.1 一般性质 172
5.2 多项式的根 172
5.2.2 复系数与实系数多项式的根 176
5.3 因式分解 177
5.3.1 最大公因式 177
5.3.2 唯一因式分解定理 181
5.3.3 重因式 183
5.3.4 有理系数多项式 184
5.4.1 基本概念 187
5.4 多元多项式简介 187
5.4.2 对称多项式 189
习题5 194
第6章 线性变换 200
6.1 特征值与特征向量 200
6.1.1 线性映射的矩阵 200
6.1.2 线性变换的矩阵 203
6.1.3 特征值与特征向量 205
6.1.4 对角化 208
6.2 不变子空间 211
6.2.1 线性变换的限制 212
6.2.2 实向量空间的复化 213
6.2.3 最小多项式 214
6.2.4 Cayley-Hamilton定理 216
6.2.5 准素分解 217
6.3 Jordan标准形 218
6.3.1 根子空间分解 218
6.3.2 幂零变换的循环分解 220
6.3.3 Jordan标准分解 221
6.4 多项式矩阵方法 224
6.4.1 多项式矩阵 224
6.4.2 Jordan标准形的计算 231
习题6 234
第7章 双线性型与欧氏空间 240
7.1 双线性函数 242
7.1.1 双线性函数的定义及基本性质 242
7.1.2 正交化方法与分类定理 246
7.1.3 二次型及其标准形 251
7.2.1 基本性质 256
7.2 欧氏空间 256
7.2.2 标准正交基 259
7.2.3 欧氏空间的同构 261
7.2.4 向量到子空间的距离 262
7.3 欧氏空间上的线性变换 265
7.3.1 线性变换的伴随 265
7.3.2 （斜）对称变换 266
7.3.3 正交变换 269
7.3.4 正规变换 272
7.4 Hermite型与酉空间 273
7.4.1 Hermite型 274
7.4.2 酉空间 276
7.4.3 酉空间上的线性变换 277
习题7 280
第8章 仿射空间与射影空间 287
8.1 仿射空间 287
8.1.1 仿射空间的定义 287
8.1.2 仿射子空间 289
8.1.3 欧氏仿射空间 291
8.2.1 仿射变换 292
8.2 仿射变换与运动 292
8.2.2 运动 296
8.3 二次曲面 298
8.3.1 仿射性质与分类 299
8.3.2 度量分类与不变量 304
8.3.3 3维实二次曲面的几何性质 308
8.4 射影空间 313
8.4.1 射影空间的定义 313
8.4.2 射影变换 316
8.4.3 对偶原理 321
8.4.4 射影二次曲面 322
习题8 325
参考文献 328
附录 329
1 算术与代数基本定理 329
2 代数基本概念 335
习题 344
索引 346
《大学数学科学丛书》已出版书目 352