译者序 1
前言 1
第1章 热传导方程 1
1.1 引言 1
1.2 一维杆中热传导方程的推导 1
1.3 边界条件 7
1.4 平衡温度分布 9
1.4.1 给定温度 9
1.4.2 绝热边界 10
1.5 二维或三维热传导方程的推导 13
第2章 分离变量法 22
2.1 引言 22
2.2 线性性质 22
2.3 在有限端处具有零温度的热传导方程 24
2.3.1 概述 24
2.3.2 分离变量 25
2.3.3 不定常方程 26
2.3.4 边值问题 27
2.3.5 乘积解和叠加原理 30
2.3.6 正弦函数的正交性 32
2.3.7 实例 34
2.3.8 小结 36
2.4 有关热传导方程的例子：其他边值问题 39
2.4.1 绝热端杆中的热传导 39
2.4.2 细圆环中的热传导 43
2.4.3 边值问题小结 46
2.5.1 矩形区域内的拉普拉斯方程 48
2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性质 48
2.5.2 圆盘内的拉普拉斯方程 51
2.5.3 绕过圆柱体的流体流动（升力） 54
2.5.4 拉普拉斯方程的定性性质 56
第3章 傅里叶级数 61
3.1 引言 61
3.2 收敛定理 62
3.3 傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数 65
3.3.1 傅里叶正弦级数 65
3.3.2 傅里叶余弦级数 73
3.3.3 用正弦级数和余弦级数表示f（x） 75
3.3.4 偶部和奇部 76
3.3.5 连续傅里叶级数 77
3.4 傅里叶级数的逐项微分 80
3.5 傅里叶级数的逐项积分 88
3.6 傅里叶级数的复形式 91
4.1 引言 93
4.2 弦振动方程的建立 93
第4章 波动方程：振动弦与振动膜 93
4.3 边界条件 95
4.4 端点固定的振动弦 97
4.5 振动膜 102
4.6 电磁波与声波的反射与折射 104
4.6.1 斯涅耳折射定律 105
4.6.2 反射波与折射波的强度（振幅） 106
4.6.3 内部全反射 107
5.2.1 非均匀杆内的热流 108
5.2 例子 108
5.1 引言 108
第5章 施图姆-刘维尔特征值问题 108
5.2.2 圆对称热流 109
5.3 施图姆-刘维尔特征值问题 111
5.3.1 一般分类 111
5.3.2 正则施图姆-刘维尔特征值问题 111
5.3.3 定理的举例和说明 113
5.4 例子：非均匀杆中的无热源热流 117
5.5 自伴算子和施图姆-刘维尔特征值问题 120
5.6 瑞利商 131
5.7 例子：非均匀弦的振动 135
5.8 第三类边界条件 137
5.9 大特征值（渐近行为） 147
5.10 逼近性质 150
第6章 偏微分方程的有限差分数值法 154
6.1 引言 154
6.2 有限差分与截断泰勒级数 154
6.3.1 概述 158
6.3 热传导方程 158
6.3.2 偏差分方程 159
6.3.3 计算 160
6.3.4 傅里叶-冯·诺伊曼稳定性分析 162
6.3.5 偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解 166
6.3.6 矩阵记号 169
6.3.7 非齐次问题 171
6.3.8 其他数值格式 172
6.3.9 其他类型的边界条件 173
6.4 二维热传导方程 175
6.5 波动方程 176
6.6 拉普拉斯方程 179
6.7 有限元法 184
6.7.1 非正交函数逼近 184
6.7.2 最简三角形有限元 186
7.2 时间变量的分离 190
7.2.1 振动膜：任意形状 190
7.1 引言 190
第7章 高维偏微分方程 190
7.2.2 热传导：任意区域 192
7.2.3 小结 192
7.3 振动矩形膜 193
7.4 特征值问题？2φ＋λφ＝0的定理叙述和说明 199
7.5 格林公式、自伴算子和多维特征值问题 203
7.6 瑞利商和拉普拉斯方程 207
7.6.1 瑞利商 207
7.6.2 依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程 208
7.7 振动圆形膜和贝塞尔函数 209
7.7.1 概述 209
7.7.2 分离变量 210
7.7.3 特征值问题（一维情形） 211
7.7.4 贝塞尔微分方程 211
7.7.5 奇异点和贝塞尔微分方程 212
7.7.6 贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近） 213
7.7.7 涉及贝塞尔函数的特征值问题 214
7.7.8 振动圆形膜的初值问题 215
7.7.9 圆对称情形 216
7.8 贝塞尔函数的进一步讨论 220
7.8.1 贝塞尔函数的定性性质 220
7.8.2 特征值的渐近公式 221
7.8.3 贝塞尔函数的零点和结点曲线 222
7.8.4 贝塞尔函数的级数表示 223
7.9 圆柱体上的拉普拉斯方程 226
7.9.1 概述 226
7.9.2 分离变量 227
7.9.3 侧面及顶部或底部为零温度的情形 228
7.9.4 顶部和底部为零温度的情形 229
7.9.5 修正贝塞尔函数 231
7.10 球内的问题和勒让德多项式 233
7.10.1 概述 233
7.10.2 分离变量和一维特征值问题 234
7.10.3 连带勒让德函数和勒让德多项式 235
7.10.4 径向特征值问题 237
7.10.5 乘积解、振动模式和初值问题 237
7.10.6 球内部的拉普拉斯方程 238
第8章 非齐次问题 241
8.1 引言 241
8.2 有源热流与非齐次边界条件 241
8.3 带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数） 245
8.4 利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件） 249
8.5 受迫振动膜与共振 253
8.6 泊松方程 259
9.2 一维热传导方程 264
9.1 引言 264
第9章 定常问题的格林函数 264
9.3 常微分方程边值问题的格林函数 267
9.3.1 一维稳态热传导方程 267
9.3.2 参数变易法 268
9.3.3 格林函数的特征函数展开法 270
9.3.4 狄拉克δ函数及其与格林函数的关系 271
9.3.5 非齐次边界条件 276
9.3.6 小结 277
9.4.1 概述 281
9.4 弗雷德霍姆择一性与广义格林函数 281
9.4.2 弗雷德霍姆择一性 282
9.4.3 广义格林函数 284
9.5 泊松方程的格林函数 289
9.5.1 概述 289
9.5.2 多维狄拉克δ函数与格林函数 289
9.5.3 用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性 291
9.5.4 格林函数的直接解法（一维特征函数） 292
9.5.5 用格林函数解带非齐次边界条件的问题 293
9.5.6 无穷空间格林函数 294
9.5.7 用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数 296
9.5.8 用无穷空间格林函数求半无穷平面（y＞0）的格林函数：像源法 297
9.5.9 圆的格林函数：像源法 298
9.6 扰动特征值问题 303
9.6.1 概述 303
9.6.2 数学例子 303
9.6.3 拟圆膜振动 304
9.7 小结 307
第10章 无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法 308
10.1 引言 308
10.2 无穷域上的热传导方程 308
10.3 傅里叶变换对 310
10.3.1 傅里叶级数恒等式的启示 310
10.3.2 傅里叶变换 311
10.3.3 高斯函数的傅里叶逆变换 312
10.4.1 热传导方程 317
10.4 傅里叶变换与热传导方程 317
10.4.2 傅里叶变换热传导方程：导数的变换 320
10.4.3 卷积定理 322
10.4.4 傅里叶变换性质小结 324
10.5 傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程 326
10.5.1 概述 326
10.5.2 半无穷区间上的热传导方程Ⅰ 326
10.5.3 傅里叶正弦和余弦变换 327
10.5.4 导数的变换 328
10.5.5 半无穷区间上的热传导方程Ⅱ 329
10.5.6 傅里叶正弦和余弦变换表 331
10.6 应用变换求解的例子 334
10.6.1 无穷区间上的一维波动方程 334
10.6.2 半无穷带上的拉普拉斯方程 335
10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程 337
10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程 340
10.6.5 平面上的热传导方程（二维傅里叶变换） 342
10.6.6 二重傅里叶变换表 346
10.7 散射和逆散射 349
第11章 波动方程和热传导方程的格林函数 352
11.1 引言 352
11.2 波动方程的格林函数 352
11.2.1 概述 352
11.2.2 格林公式 353
11.2.3 互反性 354
11.2.4 使用格林函数 355
11.2.5 波动方程的格林函数 356
11.2.7 一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解 357
11.2.6 格林函数的另一个微分方程 357
11.2.8 三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理） 359
11.2.9 二维无穷空间格林函数 360
11.2.10 小结 360
11.3 热传导方程的格林函数 362
11.3.1 概述 362
11.3.2 热传导方程的非自伴特性 363
11.3.3 格林公式 364
11.3.5 互反性 365
11.3.4 伴随格林函数 365
11.3.6 用格林函数表示解 366
11.3.7 格林函数的另一个微分方程 367
11.3.8 扩散方程的无穷空间格林函数 367
11.3.9 热传导方程的格林函数（在半无穷域上） 368
11.3.10 热传导方程的格林函数（在有限区域上） 369
第12章 线性和拟线性波动方程的特征线法 372
12.1 引言 372
12.2 一阶波动方程的特征线 372
12.2.1 概述 372
12.2.2 一阶偏微分方程的特征线法 373
12.3 一维波动方程的特征线法 376
12.3.1 通解 376
12.3.2 初值问题（无穷区域） 378
12.3.3 达朗贝尔解 381
12.4 半无界弦和反射 382
12.5 定长振动弦的特征线法 386
12.6 拟线性偏微分方程的特征线法 388
12.6.1 特征线法 388
12.6.2 交通流量 389
12.6.3 特征线法（Q=0） 390
12.6.4 冲击波 393
12.6.5 拟线性举例 401
12.7 一阶非线性偏微分方程 404
12.7.1 由波动方程推导出的短时距方程 404
12.7.2 求解均匀介质中的短时距方程和反射波 405
12.7.3 一阶非线性偏微分方程 407
13.2.1 概述 409
13.2 拉普拉斯变换的性质 409
13.1 引言 409
第13章 偏微分方程的拉普拉斯变换解法 409
13.2.2 拉普拉斯变换的奇点 410
13.2.3 导数的变换 413
13.2.4 卷积定理 413
13.3 常微分方程初值问题的格林函数 416
13.4 波动方程的信号问题 418
13.5 有限长度振动弦的信号问题 420
13.6 波动方程及其格林函数 422
13.7 用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换 424
13.8 利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量） 428
第14章 色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法 430
14.1 引言 430
14.2 色散波和群速度 430
14.2.1 行波和色散关系 430
14.2.2 群速度Ⅰ 432
14.3 波导 434
14.3.1 对ωf频率集中周期性源的响应 435
14.3.2 模式传播的格林函数 436
14.3.3 模式不传播的格林函数 437
14.3.4 设计思路 437
14.4 光纤 438
14.5 群速度Ⅱ和稳定相位法 441
14.5.1 稳定相位法 441
14.5.2 对线性色散波的应用 443
14.6 缓变色散波（群速度和焦散曲线） 445
14.6.1 色散偏微分方程的近似解 445
14.6.2 焦散曲线的形成 446
14.7 波包络方程（集中波数） 450
14.7.1 薛定谔方程 451
14.7.2 线性化KdV方程 452
14.7.3 非线性色散波：KdV方程 454
14.7.4 孤立子与逆散射 455
14.7.5 非线性薛定谔方程 457
14.8 稳定性和不稳定性 460
14.8.1 常微分方程和分歧理论简介 460
14.8.2 偏微分方程稳定平衡解的基本例子 464
14.8.3 偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成 465
14.8.4 不适定问题 467
14.8.5 微不稳定色散波和线性化复金茨堡-朗道方程 467
14.8.6 非线性复金茨堡-朗道方程 469
14.8.7 长波的不稳定性 473
14.8.8 反应扩散方程的模式形成和图灵不稳定性 473
14.9 奇异扰动法：多尺度 478
14.9.1 常微分方程：弱非线性阻尼振子 478
14.9.2 常微分方程：缓变振子 480
14.9.3 固定空间域上的微不稳定偏微分方程 483
14.9.4 关于波动方程的缓变介质 484
14.9.5 缓变线性色散波（包括弱非线性作用） 486
14.10 奇异扰动法：匹配渐近展开的边界层法 490
14.10.1 常微分方程中的边界层 490
14.10.2 由对流支配的污染物扩散 493
参考文献 498
带*号习题的答案 503
索引 520