1 偏微分方程模型与定解问题 1
1.1 弦振动方程模型及定解条件 3
1.1.1 弦振动方程的导出 3
1.1.2 定解问题与定解条件 5
习题1.1 6
1.2 其他典型方程模型与叠加原理 7
1.2.1 热传导方程模型 7
1.2.2 调和方程模型 8
1.2.3 交通流模型 9
1.2.4 叠加原理 10
习题1.2 12
2 特征线法与行波法 13
2.1 特征线法 13
2.1.1 一阶常系数线性方程求解 13
2.1.2 一维波动方程的通解 16
习题2.1 19
2.2 达朗贝尔公式 20
2.2.1 达朗贝尔公式的导出 20
2.2.2 传播波 21
2.2.3 依赖区间、决定区域和影响区域 24
习题2.2 25
2.3 三维波动方程的柯西问题 25
2.3.1 三维波动方程的泊松公式 26
2.3.2 泊松公式的物理意义 28
2.3.3 降维法求解二维波动方程的柯西问题 28
习题2.3 30
2.4 齐次化原理及应用 30
2.4.1 齐次化原理 30
2.4.2 齐次化原理应用 32
2.4.3 高维非齐次波动方程的柯西问题 33
习题2.4 34
3 分离变量法 36
3.1 直角坐标系下的分离变量法 36
3.1.1 有界弦的自由振动问题 36
3.1.2 有限长杆的热传导问题 41
3.1.3 分离变量法总结及固有值问题 43
习题3.1 46
3.2 极坐标下的分离变量法 46
习题3.2 49
3.3 非齐次方程问题与非齐次边界问题 50
3.3.1 非齐次方程的特征函数法 50
3.3.2 非齐次边界问题 53
习题3.3 55
4 格林函数法 56
4.1 狄拉克函数与基本解 56
4.1.1 狄拉克函数 56
4.1.2 泊松方程的基本解 59
习题4.1 60
4.2 格林公式及格林函数 61
4.2.1 散度定理与格林公式 61
4.2.2 泊松方程狄利克雷问题的格林函数 62
习题4.2 64
4.3 特殊区域上的格林函数及应用 64
4.3.1 格林函数的求法 64
4.3.2 格林函数应用 67
习题4.3 69
5 积分变换法 71
5.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 71
5.1.1 傅里叶变换及其性质 71
5.1.2 拉普拉斯变换及其性质 73
5.1.3 典型函数的积分变换 74
习题5.1 77
5.2 傅里叶变换应用举例 77
习题5.2 81
5.3 拉普拉斯变换应用举例 82
习题5.3 88
6 特殊函数 89
6.1 贝塞尔函数的推导 89
6.1.1 幂级数解法 89
6.1.2 贝塞尔函数 90
习题6.1 93
6.2 贝塞尔函数的性质 93
6.2.1 贝塞尔函数的递推公式 93
6.2.2 贝塞尔函数的零点与正交模 95
6.2.3 函数按贝塞尔函数系展开 96
习题6.2 97
6.3 贝塞尔函数的应用 97
习题6.3 101
6.4 勒让德函数 101
6.4.1 勒让德方程的求解 101
6.4.2 勒让德多项式 103
习题6.4 105
6.5 勒让德多项式应用 105
6.5.1 函数按勒让德多项式展开 105
6.5.2 球形区域上调和方程边值问题求解 107
习题6.5 109
7 极值原理与能量估计 110
7.1 泊松方程的极值原理 110
7.1.1 极大值原理 110
7.1.2 泊松方程边值问题解的最大模估计 112
7.1.3 强极值原理 112
习题7.1 114
7.2 热传导方程的极值原理 115
7.2.1 极值原理 115
7.2.2 第一边值问题解的唯一性 116
7.2.3 解的最大模估计 117
习题7.2 118
7.3 波动方程的能量估计 118
7.3.1 振动的动能和位能 118
7.3.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 120
习题7.3 122
附录A 傅里叶变换函数表 123
附录B 拉普拉斯函数表 126
附录C 高斯函数和误差函数 129
附录D Γ函数 131
部分习题答案及提示 134
参考文献 140