第1章 引论 1
1.1数值计算研究的对象和特点 1
1.2数值计算的误差 2
1.2.1误差的来源与分类 2
1.2.2误差与有效数字 3
1.2.3函数值和算术运算的误差估计 5
1.2.4计算机的浮点数表示及其舍入误差 6
1.3误差定性分析与避免误差危害 8
1.3.1病态问题与条件数 8
1.3.2算法及其计算复杂性 9
1.3.3数值方法的稳定性 9
1.3.4避免误差危害的若干原则 10
1.4向量、矩阵和连续函数的范数 12
1.4.1向量和连续函数的内积 12
1.4.2向量的范数 13
1.4.3矩阵的范数 15
1.4.4连续函数的范数 20
习题一 21
第2章 非线性方程求根 23
2.1方程求根与二分法 23
2.1.1引言 23
2.1.2方程求根的二分法 24
2.2迭代法及其收敛性 26
2.2.1简单迭代法 26
2.2.2局部收敛性与收敛阶 29
2.3迭代加速收敛的方法 31
2.3.1史蒂芬森加速迭代 31
2.3.2埃特金加速收数法 33
2.4牛顿迭代法 34
2.4.1牛顿迭代法及其收敛 34
2.4.2算法与算例 35
2.4.3牛顿下山法 37
2.4.4重根情形 38
2.5割线法与抛物线法 40
2.5.1割线法 40
2.5.2抛物线法 41
2.6非线性方程组的牛顿迭代法 41
2.7 MATLAB程序代码与算例 43
习题二 45
第3章 解线性方程组的数值解法 48
3.1引言 48
3.2高斯消元和三角分解 49
3.2.1高斯变换与高斯矩阵 49
3.2.2高斯顺序消去法 50
3.2.3矩阵的三角分解 53
3.2.4高斯主元消去法 55
3.3常用的直接三角分解方法 57
3.3.1杜里特尔分解法 57
3.3.2选主元的三角分解法 60
3.3.3对称正定矩阵的乔里斯基分解、平方根法 61
3.3.4三对角方程组的追赶法 64
3.4方程组的性态和直接法的误差分析 65
3.4.1病态方程组和矩阵的条件数 65
3.4.2条件数的应用：方程组的解的误差估计 67
3.5解线性方程组的迭代法 71
3.5.1基本迭代 72
3.5.2迭代法的收敛性 75
3.6 MATLAB程序代码与算例 83
习题三 87
第4章 插值法 92
4.1插值问题与插值多项式 92
4.2拉格朗日插值 93
4.2.1插值多项式的存在唯一性 93
4.2.2线性插值与二次插值 93
4.2.3 n次拉格朗日插值多项式 95
4.2.4插值余项与误差估计 96
4.3均差与牛顿插值公式 98
4.3.1均差及其性质 98
4.3.2牛顿插值 100
4.4差分与牛顿前后插值公式 102
4.4.1差分及其性质 102
4.4.2等距节点插值公式 104
4.5埃尔米特插值 106
4.5.1埃尔米特插值多项式 106
4.5.2重节点均差 109
4.5.3牛顿形式的埃尔米特插值多项式 110
4.6分段低次插值 112
4.6.1多项式插值的收敛性问题 112
4.6.2分段线性插值 113
4.6.3分段三次埃尔米特插值 114
4.7三次样条插值 116
4.7.1三次样条函数 116
4.7.2三弯矩方程 117
4.7.3三次样条插值的收敛性 120
4.8 MATLAB程序代码与算例 120
习题四 123
第5章 函数逼近及与曲线拟合 126
5.1正交多项式 126
5.1.1勒让德正交多项式 128
5.1.2切比雷夫正交多项式 130
5.1.3其他正交多项式 131
5.2函数逼近 132
5.2.1最佳平方逼近概念及其计算 132
5.2.2利用勒让德正交多项式求最佳平方逼近多项式 135
5.3最佳一致逼近多项式 136
5.3.1基本概念及其理论 136
5.3.2最佳一致逼近多项式的求法 139
5.4曲线拟合的最小二乘法 143
5.4.1一般最小二乘问题 143
5.4.2矛盾方程组与最小二乘法 147
5.4.3用正交函数作最小二乘拟合 148
5.5 MATLAB程序代码与算例 150
习题五 153
第6章 数值积分与数值微分 156
6.1数值积分基本概念 156
6.1.1数值积分的基本思想 156
6.1.2求积公式的代数精度 157
6.1.3插值型求积公式 158
6.1.4求积公式的收敛性与稳定性 159
6.2牛顿—柯特斯公式 160
6.2.1牛顿—柯特斯公式的建立 160
6.2.2误差分析 163
6.3复化求积公式 164
6.3.1复化梯形公式 164
6.3.2复化辛普森公式 165
6.4龙贝格算法 167
6.4.1变步长求积公式 167
6.4.2龙贝格算法 169
6.4.3理查森外推算法 172
6.5高斯求积公式 173
6.5.1高斯型求积公式的概念与性质 173
6.5.2高斯—勒让德求积公式 179
6.5.3高斯—切比雷夫求积公式 181
6.6数值微分 182
6.6.1机械求导法 182
6.6.2中点求导法的加速 183
6.6.3插值型的求导公式 184
6.7 MATLAB程序代码与算例 187
习题六 189
第7章 代数特征值问题计算方法 192
7.1幂法与反幂法 192
7.1.1幂法 192
7.1.2幂法的加速收敛方法 195
7.1.3反幂法 199
7.2正交变换及矩阵分解 201
7.2.1 Givens变换和豪斯霍尔德变换 201
7.2.2矩阵的QR分解 204
7.2.3约化矩阵为Hessenberg形 206
7.3 QR算法 208
7.4 MATLAB程序代码与算例 211
习题七 213
第8章 常微分方程的数值解法 216
8.1引言 216
8.2欧拉方法 217
8.2.1欧拉方法 217
8.2.2隐式公式的计算 219
8.2.3单步法的局部截断误差与阶 219
8.3 R-K方法 220
8.3.1 R-K法的基本思想 220
8.3.2二阶R-K方法 221
8.3.3四阶R-K方法 222
8.3.4变步长的R-K方法 223
8.4单步法的收敛性与稳定性 224
8.4.1收敛性 224
8.4.2稳定性 226
8.5线性多步法 228
8.5.1线性多步法的一般公式 229
8.5.2 Adams方法 229
8.6常微分方程组和高阶微分方程数值解 232
8.6.1一阶常微分方程组的四阶R-K公式 233
8.6.2高阶微分方程的数值解法 234
8.7微分方程边值问题的数值解法 235
8.8 MATLAB程序代码与算例 237
习题八 241
习题答案 244
参考文献 250