第一章 函数与极限 1
第一节 变量与函数 2
一、实数及其性质 2
二、数轴、集合、区间、邻域 3
三、函数及其图形 6
四、几类重要的分段函数 9
五、函数的几种特性 11
六、反函数 13
七、函数的四则运算法则与复合函数 13
八、初等函数与双曲函数 15
习题1-1 17
第二节 数列的极限 19
一、数列极限的定义 19
二、收敛数列的性质 24
三、收敛数列的四则运算 26
四、数列极限存在的判别准则 28
五、子数列的收敛性 32
六、重要极限 32
习题1-2 34
第三节 函数的极限 35
一、自变量趋于有限值时函数的极限 36
二、自变量趋于无穷大时函数的极限 38
三、单侧极限 40
四、函数极限的性质 42
五、无穷小量与无穷大量 44
六、函数极限与数列极限的关系 49
习题1-3 51
第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限 52
一、函数极限的四则运算 52
二、复合函数的极限运算 56
习题1-4 57
第五节 重要极限 无穷小的比较 58
一、函数极限存在准则 58
二、两个重要极限 59
三、无穷小阶的比较 63
习题1-5 66
第六节 函数的连续性与间断点 68
一、函数的连续性概念 68
二、连续函数的运算法则 71
三、函数的间断点及其分类 74
四、闭区间上连续函数的性质 76
习题1-6 83
第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用 85
一、Mathematica基础知识 85
二、Mathematica在函数、极限中的应用 93
本章小结 97
总习题一 103
第二章 导数与微分 106
第一节 导数的概念 107
一、引例 107
二、导数的定义 109
三、导函数 112
四、导数的几何意义 114
五、函数的可导性与连续性的关系 115
六、导数在其他学科中的含义——变化率 117
习题2-1 117
第二节 微分的概念 119
一、微分的定义 120
二、微分的几何意义 123
三、利用微分进行近似计算 123
习题2-2 126
第三节 函数的微分法 127
一、函数和、差、积、商的导数与微分法则 127
二、复合函数的微分法 130
三、反函数的微分法 133
四、初等函数的微分 135
习题2-3 138
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 141
一、隐函数求导 141
二、对数求导法 143
三、参数方程确定的函数的导数 146
四、相关变化率 149
习题2-4 150
第五节 高阶导数与高阶微分 152
一、高阶导数 152
二、高阶求导法则 155
三、高阶微分 158
习题2-5 159
第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算 161
一、基本命令 161
二、实验举例 162
第七节 几种常用的曲线 163
本章小结 167
总习题二 169
第三章 微分中值定理与导数的应用 172
第一节 微分中值定理 172
一、罗尔定理 173
二、拉格朗日中值定理 175
三、柯西中值定理 179
习题3-1 181
第二节 洛必达法则 182
一、0/0型未定式 183
二、∞/∞型未定式 185
三、其他类型的未定式 185
习题3-2 190
第三节 泰勒公式 191
习题3-3 199
第四节 函数的单调性与极值判定 200
一、函数的单调性及其判定 200
二、函数的极值及其判定 204
三、最大值和最小值问题 209
习题3-4 214
第五节 曲线的凹凸性与拐点 217
习题3-5 221
第六节 函数图形的描绘 222
一、曲线的渐近线 222
二、函数的作图 225
习题3-6 229
第七节 曲率 229
一、曲率 229
二、曲率圆与曲率半径 235
三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 237
习题3-7 239
第八节 Mathematica在导数中的应用 240
一、基本命令 240
二、实验举例 240
本章小结 242
总习题三 247
第四章 一元函数积分学及其应用 250
第一节 定积分的概念 251
一、定积分问题举例 251
二、定积分定义 253
三、定积分的存在性 256
习题4-1 258
第二节 定积分的性质 259
一、定积分的基本性质 259
二、积分中值定理 262
习题4-2 265
第三节 微积分基本公式与基本定理 266
一、微积分基本公式 266
二、微积分基本定理 268
习题4-3 274
第四节 不定积分的基本积分法 276
一、不定积分概念与性质 277
二、基本积分表 278
三、换元积分法 280
四、分部积分法 293
习题4-4 298
第五节 有理函数的积分 301
一、有理函数的积分 301
二、可化为有理函数的积分 305
习题4-5 311
第六节 定积分的计算法 312
习题4-6 317
第七节 定积分的应用 319
一、定积分的元素法 320
二、定积分在几何学中的应用 322
三、定积分在物理学中的应用 334
习题4-7 338
第八节 反常积分 342
一、问题提出 342
二、无穷限的反常积分 343
三、无界函数的反常积分 346
四、反常积分的审敛法 349
五、Г函数 355
习题4-8 357
第九节 Mathematica在一元积分学中的应用 359
一、不定积分的计算 359
二、定积分的计算 361
三、定积分的应用 362
本章小结 363
总习题四 374
第五章 无穷级数 379
第一节 常数项级数的概念与性质 380
一、常数项级数的概念 380
二、收敛级数的基本性质 383
三、柯西收敛原理 386
习题5-1 387
第二节 常数项级数的审敛法 388
一、正项级数及其审敛法 388
二、交错级数及其审敛法 395
三、绝对收敛与条件收敛 397
习题5-2 403
第三节 幂级数 405
一、函数项级数的概念 405
二、幂级数及其收敛性 406
三、幂级数的运算 411
四、和函数的性质 412
习题5-3 415
第四节 函数展开成幂级数及其应用 416
一、泰勒级数 416
二、函数展开成幂级数 418
三、函数幂级数展开式的应用 426
习题5-4 433
第五节 傅里叶级数 433
一、问题的提出 433
二、三角函数系的正交性 436
三、函数展开成傅里叶级数 437
四、正弦级数与余弦级数 441
五、定义在有限区间[a， b]上的函数展开成傅里叶级数 443
六、定义在区间[0， l]上的函数展开成正弦级数或余弦级数 445
七、傅里叶级数的复数形式 447
习题5-5 449
第六节 Mathematica在级数中的应用 450
一、基本命令 450
二、实验举例 451
本章小结 453
总习题五 459
部分习题答案与提示 462
参考文献 485