第1章 引论 1
1.1 误差的来源 1
1.1.1 舍入误差 1
1.1.2 截断误差 2
1.2 误差的传播 4
1.2.1 尽量避免两个相近的数相减 4
1.2.2 防止接近零的数做除数 6
1.2.3 防止大数吃小数 6
1.2.4 简化计算步骤，减少运算次数 6
1.3 数值算法的稳定性 7
第2章 线性方程组的解法 11
2.1 Gauss消顺序消去法 11
2.2 Gauss列主元消去法 13
2.3 Gauss-Jordan消去法 15
2.4 LU分解法 17
2.5 平方根法 19
2.6 改进的平方根法 22
2.7 追赶法 24
2.8 QR分解法 26
2.9 方程组的性态与误差分析 29
2.9.1 误差分析 29
2.9.2 迭代改善 31
2.10 Jacobi迭代法 33
2.11 Gauss-Seidel迭代法 35
2.12 松弛迭代法 38
2.13 迭代法的收敛性分析 40
第3章 函数的插值 46
3.1 Lagrange插值 46
3.2 牛顿插值 49
3.3 Hermite插值 52
3.4 分段三次Hermite插值 55
3.5 三次样条插值函数 61
3.5.1 紧压样条插值函数 61
3.5.2 端点曲率调整样条插值函数 66
3.5.3 非节点样条插值函数 71
3.5.4 周期样条插值函数 76
3.5.5 MATLAB的内置三次样条插值函数简介 79
第4章 函数的逼近 83
4.1 最佳一致逼近多项式 83
4.2 近似最佳一致逼近多项式 87
4.3 最佳平方逼近多项式 90
4.4 用正交多项式作最佳平方逼近多项式 93
4.4.1 用Legendre多项式作最佳平方逼近多项式 93
4.4.2 用Chebyshev多项式作最佳平方逼近多项式 96
4.5 曲线拟合的最小二乘法 99
4.5.1 线性最小二乘拟合 99
4.5.2 用正交多项式作最小二乘拟合 103
4.5.3 非线性最小二乘拟合举例 105
4.6 Pade有理逼近 108
第5章 数值积分 115
5.1 复合求积公式 115
5.1.1 复合梯形公式 115
5.1.2 复合Simpson公式 118
5.1.3 复合Cotes公式 119
5.2 变步长的求积公式 121
5.2.1 变步长的梯形公式 121
5.2.2 变步长的Simpson公式 122
5.2.3 变步长的Cotes公式 123
5.3 Romberg积分法 124
5.4 自适应积分法 127
5.5 Gauss求积公式 129
5.5.1 Gauss-Legendre求积公式 129
5.5.2 Gauss-Chebyshev求积公式 131
5.5.3 Gauss-Laguerre求积公式 133
5.5.4 Gauss-Hermite求积公式 135
5.6 预先给定节点的Gauss求积公式 137
5.6.1 Gauss-Radau求积公式 137
5.6.2 Gauss-Lobatto求积公式 138
5.7 二重积分的数值计算 140
5.7.1 复合Simpson公式 140
5.7.2 变步长的Simpson公式 144
5.7.3 复合Gauss公式 147
5.8 三重积分的数值计算 149
第6章 数值优化 155
6.1 一元函数的极小值 155
6.1.1 黄金分割搜索法 155
6.1.2 Fibonacci搜索法 157
6.1.3 二次逼近法 159
6.1.4 三次插值法 161
6.1.5 牛顿法 162
6.2 Nelder-Mead方法 164
6.3 最速下降法 166
6.4 牛顿法 169
6.5 共轭梯度法 170
6.6 拟牛顿法 173
6.6.1 DFP法 173
6.6.2 BFGS法 176
6.7 模拟退火算法 179
6.8 遗传算法 181
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 190
7.1 上Hessenberg矩阵和QR分解 190
7.1.1 化矩阵为上Hessenberg矩阵 190
7.1.2 矩阵的QR分解 192
7.2 乘幂法与反幂法 193
7.2.1 乘幂法 193
7.2.2 反幂法 195
7.2.3 移位反幂法 196
7.3 Jacobi方法 198
7.4 对称QR方法 201
7.5 QR方法 203
7.5.1 上Hessenberg的QR方法 203
7.5.2 原点移位的QR方法 204
7.5.3 双重步QR方法 207
第8章 非线性方程求根 211
8.1 迭代法 211
8.2 迭代法的加速收敛 214
8.2.1 Aitken加速法 214
8.2.2 Steffensen加速法 215
8.3 二分法 217
8.4 试位法 219
8.5 牛顿-拉夫森法 220
8.6 割线法 225
8.7 改进的牛顿法 228
8.8 Halley法 233
8.9 Brent法 236
8.10 抛物线法 240
第9章 非线性方程组的数值解法 245
9.1 不动点迭代法 245
9.2 牛顿法 247
9.3 修正牛顿法 250
9.4 拟牛顿法 252
9.4.1 Broyden方法 252
9.4.2 DFP方法 255
9.4.3 BFS方法 258
9.5 数值延拓法 260
9.6 参数微分法 263
第10章 常微分方程初值问题的数值解法 266
10.1 Euler方法 266
10.1.1 Euler方法 266
10.1.2 改进的Euler方法 269
10.2 Runge-Kutta方法 271
10.2.1 二阶Runge-Kutta方法 272
10.2.2 三阶Runge-Kutta方法 274
10.2.3 四阶Runge-Kutta方法 276
10.3 高阶Runge-Kutta方法 279
10.3.1 Kutta-Nystr？m五阶六级方法 279
10.3.2 Huta六阶八级方法 281
10.4 Runge-Kutta-Fehlberg方法 284
10.5 线性多步法 288
10.6 预测-校正方法 293
10.6.1 四阶Adams预测-校正方法 293
10.6.2 改进的Adams四阶预测-校正方法 295
10.6.3 Hamming预测-校正方法 298
10.7 变步长的多步法 302
10.8 Gragg外推法 305
10.9 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 310
10.9.1 常微分方程组的数值解法 311
10.9.2 高阶微分方程的数值解法 315
第11章 常微分方程边值问题的数值解法 317
11.1 打靶法 317
11.1.1 线性边值问题的打靶法 317
11.1.2 非线性边值问题的打靶法 319
11.2 有限差分法 323
11.2.1 线性边值问题的差分方法 323
11.2.2 非线性边值问题的差分方法 327
第12章 偏微分方程的数值解法 331
12.1 椭圆型方程 331
12.2 抛物型方程 336
12.2.1 显式向前Euler方法 337
12.2.2 隐式向后Euler方法 339
12.2.3 Crank-Nicholson方法 340
12.2.4 二维抛物型方程 344
12.3 双曲型方程 348
12.3.1 一维波动方程 348
12.3.2 二维波动方程 352
程序索引 356
参考文献 360