第1章 随机事件及其概率 1
1.1 随机试验、随机事件 1
1.1.1 随机现象与统计规律性 1
1.1.2 随机试验与样本空间 2
1.1.3 随机事件、事件间的关系与运算 3
习题1.1 5
1.2 概率的直观意义及其计算 6
1.2.1 频率与概率的统计定义 6
1.2.2 古典概型 8
1.2.3 几何概率 10
习题1.2 12
1.3 概率的公理化体系 13
1.3.1 事件域 14
1.3.2 概率的公理化定义 15
习题1.3 16
1.4 概率的性质 17
1.4.1 有限可加性 17
1.4.2 减法公式与单调性 17
1.4.3 加法公式 18
1.4.4 概率的连续性 19
习题14 20
1.5 条件概率 21
1.5.1 条件概率与乘法公式 21
1.5.2 全概率公式与贝叶斯公式 25
习题1.5 27
1.6 独立性 28
1.6.1 两个事件的独立性 28
1.6.2 多个事件的独立性 29
1.6.3 试验的独立性与伯努利概型 31
习题1.6 32
本章附录 “概率论”发展简史 33
第2章 随机变量及其分布 35
2.1 随机变量与离散型随机变量 35
2.1.1 随机变量的概念 35
2.1.2 离散型随机变量及其分布律 36
习题2.1 37
2.2 常见的离散型随机变量 38
2.2.1 两点分布 38
2.2.2 二项分布 38
2.2.3 泊松分布 40
2.2.4 超几何分布 43
2.2.5 几何分布 45
2.2.6 负二项分布 46
习题2.2 47
2.3 随机变量的分布函数 48
2.3.1 分布函数的定义 48
2.3.2 分布函数的性质 49
习题2.3 51
2.4 连续型随机变量及其密度函数 52
2.4.1 连续型随机变量 52
2.4.2 密度函数的性质 52
习题2.4 56
2.5 常见的连续型随机变量 58
2.5.1 均匀分布 58
2.5.2 指数分布 60
2.5.3 正态分布 61
2.5.4 伽玛分布 65
2.5.5 贝塔分布 66
习题2.5 67
2.6 随机变量函数的分布 68
2.6.1 离散型随机变量函数的分布 68
2.6.2 连续型随机变量函数的分布 68
习题2.6 72
第3章 多维随机变量及其分布 74
3.1 二维随机变量及其分布 74
3.1.1 二维随机变量的定义、分布函数 74
3.1.2 二维离散型随机变量 76
3.1.3 二维连续型随机变量 77
习题3.1 79
3.2 边缘分布 80
3.2.1 边缘分布律 81
3.2.2 边缘密度函数 83
习题3.2 86
3.3 随机变量的独立性 87
习题3.3 90
3.4 条件分布 91
3.4.1 离散型随机变量的条件分布 91
3.4.2 连续型随机变量的条件分布 93
习题3.4 94
3.5 随机变量函数的分布 96
3.5.1 和的分布 96
3.5.2 最大值和最小值的分布 99
习题3.5 101
第4章 随机变量的数字特征 103
4.1 数学期望 103
4.1.1 数学期望的定义 104
4.1.2 随机变量函数的数学期望 106
4.1.3 数学期望的性质 109
4.1.4 条件数学期望 110
习题4.1 112
4.2 方差 113
4.2.1 方差的定义 114
4.2.2 方差的性质 116
4.2.3 常见分布的方差 116
4.2.4 数学期望、方差不存在的例子 120
4.2.5 条件方差 120
习题4.2 121
4.3 协方差、相关系数与矩 122
4.3.1 协方差与相关系数 122
4.3.2 独立性与不相关性 125
4.3.3 矩、协方差矩阵 127
习题4.3 128
4.4 变异系数、分位数 129
4.4.1 变异系数 129
4.4.2 分位数 129
4.4.3 中位数 131
习题4.4 132
第5章 特征函数与极限定理 133
5.1 随机变量序列的两种收敛性 133
5.1.1 依概率收敛 133
5.1.2 按分布收敛、弱收敛 133
习题5.1 134
5.2 特征函数 134
5.2.1 特征函数的定义 134
5.2.2 特征函数的性质 136
5.2.3 反演公式和唯一性定理 138
习题5.2 140
5.3 大数定律 141
5.3.1 切比雪夫不等式 141
5.3.2 几个大数定律 142
习题5.3 146
5.4 中心极限定理 147
5.4.1 独立同分布中心极限定理 148
5.4.2 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 150
习题5.4 152
第6章 数理统计的基本概念 154
6.1 几个基本概念 154
6.1.1 总体与样本 154
6.1.2 经验分布函数 156
6.1.3 样本数据的频数频率分布表和直方图 157
6.1.4 样本数据的分位数与中位数 159
6.1.5 样本数据的五数概括与箱线图 159
6.1.6 统计量与样本矩 161
6.1.7 样本均值的抽样分布 163
习题6.1 165
6.2 三个重要抽样分布与抽样定理 166
6.2.1 三个重要抽样分布 166
6.2.2 正态总体下的抽样定理 172
习题6.2 176
6.3 充分统计量 177
6.3.1 充分统计量的概念 177
6.3.2 因子分解定理 178
习题6.3 180
本章附录 “数理统计”发展简史 180
第7章 参数估计 184
7.1 点估计 184
7.1.1 矩估计法 184
7.1.2 极大似然估计法 186
习题7.1 190
7.2 估计量的评选标准 192
7.2.1 无偏性 192
7.2.2 有效性与相合性 193
7.2.3 均方误差 195
7.2.4 一致最小方差无偏估计 196
7.2.5 充分性原则与充分估计量 196
习题7.2 197
7.3 区间估计 198
7.3.1 区间估计的概念 198
7.3.2 枢轴量法 201
7.3.3 单个正态总体均值与方差的置信区间 202
7.3.4 两个正态总体均值之差与方差之比的置信区间 204
7.3.5 单侧置信限 206
习题7.3 209
7.4 贝叶斯估计 210
7.4.1 统计推断的基础 210
7.4.2 贝叶斯公式的密度函数形式 211
7.4.3 贝叶斯估计 216
7.4.4 贝叶斯估计的误差 217
习题7.4 218
第8章 假设检验 219
8.1 假设检验的基本思想与步骤 219
8.1.1 假设检验的基本思想 219
8.1.2 两类错误与假设检验的步骤 222
8.1.3 检验的p值 224
8.1.4 如何确定原假设H0和备择假设H1 226
习题8.1 227
8.2 单个正态总体均值与方差的检验 228
8.2.1 单个总体均值的检验 228
8.2.2 置信区间、单侧置信限与假设检验的关系 230
8.2.3 单个总体方差的检验 231
习题8.2 233
8.3 两个正态总体均值与方差的检验 235
8.3.1 两个正态总体均值之差的检验 235
8.3.2 两个正态总体方差之比的检验 236
习题8.3 238
8.4 分布拟合检验 239
习题8.4 242
第9章 方差分析 244
9.1 单因素方差分析 244
9.1.1 数学模型 245
9.1.2 方差分析 245
9.1.3 用R软件作单因素方差分析 247
9.1.4 用MATLAB作单因素方差分析 249
9.1.5 均值的多重比较 252
习题9.1 254
9.2 双因素方差分析 255
9.2.1 不考虑交互作用 255
9.2.2 考虑交互作用 258
习题9.2 263
第10章 回归分析 265
10.1 一元线性回归 265
10.1.1 一个例子 266
10.1.2 数学模型 266
10.1.3 回归参数的估计 267
10.1.4 回归方程的显著性检验 267
10.1.5 预测 275
习题10.1 276
10.2 一元非线性回归 278
10.2.1 一元非线性回归问题 278
10.2.2 优化模型的选择 280
习题10.2 284
10.3 多元线性回归 284
10.3.1 多元线性回归模型 284
10.3.2 回归参数的估计 285
10.3.3 回归方程的显著性检验 286
10.3.4 预测 287
10.3.5 血压、年龄以及体质指数问题 289
习题10.3 291
10.4 逐步回归 293
10.4.1 变量的选择 293
10.4.2 逐步回归的计算 294
习题10.4 299
附录A 数学建模及大学生数学建模竞赛简介 301
附录B 概率论与数理统计实验简介 307
附录C 概率论与数理统计附表 314
附表1 正态分布表 314
附表2 泊松分布表 315
附表3 t分布表 317
附表4 χ2分布表 319
附表5 F分布表 322
附表6 相关系数临界值rα表 330
习题参考答案 331
参考文献 344