第1章 复数与复平面 1
1.1复数 1
1.1.1复数的概念 1
1.1.2复数的模与辐角 2
1.1.3复数的三角表示与指数表示 4
1.2复数的运算及几何意义 5
1.2.1复数的加法和减法 5
1.2.2复数的乘法和除法 6
1.2.3复数的乘方和开方 8
1.2.4共轭复数的运算性质 10
1.3平面点集 12
1.3.1点集的概念 12
1.3.2区域 13
1.3.3平面曲线 14
1.3.4单连通区域与多连通区域 14
1.4无穷远点与复球面 15
1.4.1无穷远点 15
1.4.2复球面 15
本章小结 16
综合练习题1 18
自测题1 19
第2章 解析函数 20
2.1复变函数及其相关概念 20
2.1.1复变函数的概念 20
2.1.2复变函数的极限与连续 21
2.2解析函数及其相关概念 25
2.2.1复变函数的导数 25
2.2.2解析函数的概念 27
2.2.3求导运算的法则 27
2.3柯西-黎曼条件 29
2.3.1函数可导的充分必要条件 29
2.3.2函数在区域内解析的充分必要条件 31
2.4初等函数 33
2.4.1指数函数 33
2.4.2对数函数 35
2.4.3幂函数 37
2.4.4三角函数与反三角函数 38
2.4.5双曲函数与反双曲函数 40
本章小结 41
综合练习题2 45
自测题2 47
第3章 复积分 48
3.1复变函数的积分 48
3.1.1复变函数积分的概念 48
3.1.2复积分的存在性及其计算 49
3.1.3复积分的基本性质 52
3.2柯西-古萨定理及其推广 53
3.2.1柯西-古萨定理 53
3.2.2柯西-古萨定理的推广 54
3.2.3原函数与不定积分 56
3.3柯西积分公式和高阶导数公式 58
3.3.1柯西积分公式及最大模原理 58
3.3.2解析函数的高阶导数 61
3.4解析函数与调和函数的关系 64
3.4.1调和函数与共轭调和函数的概念 64
3.4.2解析函数与共轭调和函数的关系 65
本章小结 69
综合练习题3 72
自测题3 74
第4章 级数 76
4.1复数项级数 76
4.1.1复数序列的极限 76
4.1.2复数项级数 77
4.2幂级数 80
4.2.1复变函数项级数 80
4.2.2幂级数 81
4.2.3幂级数的收敛圆与收敛半径 82
4.2.4幂级数的性质 85
4.3泰勒级数 87
4.3.1解析函数的泰勒展开式 87
4.3.2几个典型初等函数的泰勒展开式 89
4.4洛朗级数 91
4.4.1函数在圆环形解析域内的洛朗展开式 91
4.4.2函数展开成洛朗级数的间接展开法 96
本章小结 100
综合练习题4 103
自测题4 104
第5章 留数及其应用 106
5.1孤立奇点和零点 106
5.1.1孤立奇点的定义及性质 106
5.1.2零点 110
5.1.3无穷远点为孤立奇点 113
5.2留数 115
5.2.1留数及其相关概念 115
5.2.2无穷远点的留数 118
5.3留数定理 120
5.4留数在定积分计算中的应用 123
5.4.1形如∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分 123
5.4.2形如∫+∞ -∞ R（x） dx的积分 125
5.4.3形如∫+∞ -∞ R（x） e iax dx（a＞0）的积分 128
本章小结 130
综合练习题5 133
自测题5 135
第6章 保形映射 136
6.1保形映射的概念及其性质 136
6.1.1保形映射的概念 136
6.1.2几何特性 138
6.1.3几个重要的保形映射 142
6.2分式线性映射 143
6.2.1分式线性映射的定义 143
6.2.2分式线性映射的特性 146
6.2.3上半平面与单位圆的分式线性映射 150
本章小结 154
综合练习题6 156
自测题6 157
第7章 傅里叶变换 159
7.1傅里叶变换的概念 159
7.1.1傅里叶级数与傅里叶积分公式 159
7.1.2傅里叶变换 162
7.2单位脉冲函数 166
7.2.1单位脉冲函数的概念及其性质 166
7.2.2单位脉冲函数的傅里叶变换 168
7.3傅里叶变换的性质 169
7.3.1基本性质 169
7.3.2卷积与卷积定理 173
本章小结 176
综合练习题7 179
自测题7 181
第8章 拉普拉斯变换 183
8.1拉普拉斯变换的概念 183
8.1.1拉普拉斯变换的定义 184
8.1.2拉普拉斯变换存在定理 185
8.2拉普拉斯变换的性质 187
8.2.1线性与相似性 187
8.2.2延迟与位移性质 188
8.2.3微分性质 190
8.2.4积分性质 193
8.2.5初值定理和终值定理 194
8.2.6卷积与卷积定理 196
8.3拉普拉斯逆变换 197
8.3.1反演积分公式 198
8.3.2利用留数计算像原函数 198
8.4拉普拉斯变换的应用 201
8.4.1求解常微分方程 201
8.4.2实际应用举例 203
本章小结 204
综合练习题8 206
自测题8 211
第9章 快速傅里叶变换 213
9.1序列傅里叶（SFT）变换 213
9.1.1序列傅里叶变换（SFT）及其逆变换（ISFT）的定义 213
9.1.2序列傅里叶变换（SFT）的性质 214
9.1.3序列傅里叶变换（SFT）的MATLAB实现 216
9.2Z变换简介 216
9.2.1Z变换的定义 216
9.2.2单边Z变换 217
9.2.3Z变换及其反变换的计算 218
9.3离散傅里叶（DFT）变换 218
9.3.1有限序列的离散傅里叶变换 218
9.3.2离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（SFT）的关系 220
9.3.3DFT与Z变换的关系 221
9.4快速傅里叶变换 222
9.4.1时分算法 222
9.4.2频分算法 227
9.4.3MATLAB的实现 231
本章小结 232
综合练习题9 233
附录 235
附录A 区域变换表 235
附录B 傅里叶变换简表 241
附录C 拉普拉斯变换简表 245
附录D Z变换表 251
习题参考答案 252
参考文献 274