第1章 绪论 1
1.1 一些应用差分方程的例子 1
1.1.1 兔子对数的递推关系 1
1.1.2 从两个简单问题导出的差分方程 5
1.1.3 近似计算与差分方程 8
1.1.4 经济学中两个问题 11
1.1.5 随机现象中概率的递推 13
1.1.6 一个种群数量变化的描述 15
1.2 差分方程的概念和求解 16
1.2.1 差分算子及其性质 17
1.2.2 初等函数的差分 21
1.2.3 不定和 25
1.2.4 差分方程 29
1.3 简单差分方程的复杂性态 31
1.3.1 差分方程的平衡解及其稳定性 31
1.3.2 虫口方程的倍周期分叉 35
1.3.3 一个非线性模型的混沌性态 42
1.3.4 帐篷映射 43
习题1 45
第2章 线性差分方程 49
2.1 线性差分方程解的一般理论 49
2.1.1 n阶线性差分方程及其解的存在唯一性 49
2.1.2 函数组的线性相关 52
2.1.3 齐次线性差分方程解的一般理论 54
2.1.4 非齐次线性差分方程解的叠加原理 57
2.2 n阶常系数线性差分方程 59
2.2.1 常系数线性齐次差分方程的解 59
2.2.2 常系数线性非齐次差分方程 64
2.2.3 算子法 70
2.2.4 可以转换为线性方程的情形 72
2.2.5 线性差分方程的应用举例 76
2.3 线性差分方程组 81
2.3.1 线性常系数齐次差分方程组 81
2.3.2 线性差分方程组的一般理论 86
2.3.3 常系数线性齐次差分方程组的解 90
2.3.4 线性非齐次差分方程组的解 97
2.3.5 线性周期差分方程组 103
2.4 线性差分方程组的应用举例 107
2.4.1 Markov链 107
2.4.2 两个国家的国民收入和贸易 110
2.4.3 热传导方程 111
习题2 112
第3章 差分方程的稳定性 117
3.1 解对初始值和参数的连续性 117
3.1.1 向量的模 117
3.1.2 差分不等式 118
3.1.3 解对初始值的依赖性 120
3.1.4 解对参数的依赖性 122
3.2 稳定性的一些概念 123
3.2.1 平衡解稳定性的定义 123
3.2.2 稳定性的几个例子 124
3.2.3 差分方程的比较原理 128
3.2.4 动力系统 130
3.3 线性差分方程平衡解的稳定性 131
3.3.1 稳定性讨论的几个具体例子 131
3.3.2 线性差分方程组零解的稳定性 135
3.3.3 常系数线性差分方程组零解的稳定性 136
3.4 稳定性研究中的线性化近似方法 141
3.4.1 线性非自治方程组零解稳定性的比较方法 142
3.4.2 非线性差分方程组与线性差分方程组的比较 146
3.4.3 判断非线性差分方程组平衡解稳定性的线性化方法 147
3.4.4 平衡解稳定性研究中的比较原理 150
3.5 Liapunov直接方法 151
3.5.1 Liapunov函数的定义 152
3.5.2 Liapunov稳定性定理 153
3.5.3 LaSalle不变性原理 158
3.5.4 Liapunov不稳定性定理 164
3.5.5 Liapunov函数的存在性 165
3.6 差分方程模型的稳定性分析举例 166
3.6.1 两阶段的种群模型 166
3.6.2 一个具有时滞的种群模型平衡解的稳定性 168
3.6.3 两种群相互竞争的模型 170
习题3 174
第4章 差分方程的分支 179
4.1 平衡解的分支 179
4.1.1 分支点的定义 179
4.1.2 逐次消元法 181
4.1.3 零因子消去法 182
4.2 一维差分方程平衡解的分支 184
4.2.1 鞍结点分支 185
4.2.2 跨临界分支 186
4.2.3 音叉分支（pitchfork bifurcation） 188
4.2.4 反转分支（flip bifurcation） 189
4.3 二维差分方程组平衡解和稳定性的分支 191
4.3.1 常系数线性齐次方程组平衡解的稳定性和相图 191
4.3.2 一个非线性差分方程组平衡解的稳定性和分支 196
4.4 不变闭曲线的分支 200
4.4.1 Hopf分支 200
4.4.2 不变闭曲线族的分支 203
4.5 生态模型中的分支 206
4.5.1 Beverton-Holt模型的分支 206
4.5.2 两阶段种群模型平衡解的分支 207
4.5.3 p=1/4时模型（4.5.2）的Flip分支 209
4.5.4 p=3/4时模型（4.5.2）的Hopf分支 213
4.6 一个传染病模型的分支 217
4.6.1 模型及其平衡解 217
4.6.2 平衡解的稳定性 220
4.6.3 模型（4.6.5）的Flip分支 221
4.6.4 模型（4.6.5）的鞍结点分支 225
4.6.5 模型（4.6.5）的Hopf分支 227
习题4 230
第5章 差分方程在生态和传染病问题中的应用 233
5.1 人口和种群增长的Leslie矩阵模型 233
5.1.1 模型建立 233
5.1.2 模型的分析 234
5.1.3 一个非线性Leslie模型 238
5.1.4 具有一般结构的Liesle模型 241
5.2 离散传染病模型 244
5.2.1 传染病问题的重要性 244
5.2.2 几个基本的离散传染病模型 245
5.2.3 具有感染阶段的艾滋病模型 254
5.2.4 具有感染阶段的艾滋病模型的应用 260
5.3 结核病传播的差分方程模型 262
5.3.1 结核的传播过程 262
5.3.2 结核的流行现状 264
5.3.3 结核的建模与研究情况 266
5.3.4 具有季节性的结核病模型 267
5.3.5 具有年龄结构的结核模型 271
5.4 Beverton-Holt模型 274
5.4.1 自治Beverton-Holt模型的稳定性 274
5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解 275
5.4.3 具有脉冲收获策略的非自治Beverton-Holt离散模型 279
习题5 283
附录A映射的中心流形定理 287
A.1 问题的提出 287
A.2 差分方程组中心流形定理的几个结论 287
A.3 中心流形定理在判定平衡解稳定性时的应用举例 289
A.4 中心流形定理在研究分支问题时的应用举例 290
附录B 2006年中国人口的一些统计数据 293
附录C 2003年北京市SARS流行期间的数据 296
参考文献 298
索引 300