第一章 中国的古代数学 1
1.1第一个高峰——两汉时期 2
1.1.1古代的背景 2
1.1.2《周髀算经》 4
1.1.3《九章算术》 6
（一）算术方面 7
（二）代数方面 8
（三）几何方面 10
1.1.4小结 12
1.2第二个高峰——魏晋南北朝时期 14
1.2.1刘徽的《九章算术注》 14
（一）割圆术 14
（二）阳马术 19
（三）球体积计算 22
1.2.2祖冲之父子 24
（一）圆周率计算 24
（二）刘祖原理与球体积公式 25
1.2.3隋唐时期 27
（一）《孙子算经》与“物不知数”问题 28
（二）《张邱建算经》与百鸡问题 29
（三）《缉古算经》与三次方程 29
1.2.4小结 30
1.3第三个高峰——宋元时期 31
1.3.1高次代数方程的数值求解——从“贾宪三角”到“正负开方术” 31
（一）贾宪三角与增乘开方法 31
（二）秦九韶正负开方术 32
1.3.2“大衍求一术”与中国剩余定理 35
1.3.3内插法与“垛积术” 42
1.3.4“天元术”与“四元术” 45
1.3.5小结 45
1.4中国古代数学的衰落时期及其探讨 46
1.4.1宋元之后的概况 46
1.4.2中国古代数学的优缺点及其衰落的原因探讨 47
（一）中国古代数学的长处 47
（二）中国古代数学的短处 48
（三）中国古代数学衰落的原因 49
1.4.3西学东渐中的中国数学 52
1.4.4中国数学史学科的形成和发展 55
参考文献 58
第二章 古代希腊的数学 61
2.1对空间和时间的说明 61
2.2古典时代——论证数学的发端 63
2.2.1古典时代前期——泰勒斯与毕达哥拉斯 63
（一）毕达哥拉斯及其学派的数学成就概述 64
（二）正方形的边和对角线不可公度的证明 66
（三）毕达哥拉斯学派对于和音的研究 69
2.2.2雅典时期的希腊数学 70
（一）三大几何问题 73
（二）芝诺悖论与无限性概念的早期探索 77
（三）逻辑演绎结构的倡导 79
2.3黄金时代——亚历山大学派 80
2.3.1欧几里得与《原本》 81
（一）内容简介 81
（二）《原本》是公理化系统的典范 83
（三）欧多克索斯的比例论 84
（四）欧多克索斯的穷竭法 86
（五）关于素数个数无限性的证明 88
（六）《原本》的不足之处 89
2.3.2阿基米德的数学成就 90
（一）阿基米德的成就概述 91
（二）球体积计算公式的发现 94
（三）抛物线弓形面积计算公式的发现 96
（四）穷竭法证明 98
2.3.3阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》 101
2.4亚历山大时代后期的古希腊数学 105
（一）托勒密的三角学 106
（二）丢番图的《算术》 106
（三）帕普斯的绝唱：《数学汇编》 106
2.5古希腊数学的总结及其兴衰研究 107
2.5.1总结 107
2.5.2兴衰研究 108
附录 阿基米德平衡法的再讨论 109
参考文献 111
第三章 科学革命与分析时代 113
3.1微积分的史前阶段 114
3.2笛卡儿与解析几何 115
3.3半个世纪的酝酿 117
3.4牛顿与莱布尼茨 120
3.4.1微分与积分的统一——微积分基本定理 120
3.4.2牛顿的科学成就概述 124
3.4.3莱布尼茨的科学成就概述 124
3.5科学革命的高潮——万有引力定律的发现 125
3.5.1从哥白尼到开普勒 126
3.5.2牛顿对开普勒第二定律的分析 129
3.5.3从开普勒三定律到万有引力定律 132
3.5.4引力定律为什么是万有的？ 136
3.5.5科学革命的意义 140
3.5.6对牛顿的评价 141
3.6分析时代的来临 145
3.6.1欧拉的贡献 146
3.6.2欧拉与哥尼斯堡七桥问题 150
3.7第二次数学危机与分析的严格化 154
附录 孪生素数猜想与张益唐的突破 157
参考文献 160
第四章 代数学的革命 163
4.1三次和四次方程的根式求解 164
4.1.1卡尔达诺的三次方程求解法 164
4.1.2与复数的不期而遇 166
4.1.3韦达的三次方程求解法 168
4.1.4费拉里的四次方程求解法 169
4.2拉格朗日对高次代数方程的研究 170
4.2.1二次方程 170
4.2.2三次方程 171
4.2.3四次方程 172
4.2.4拉格朗日提出的方案 173
4.3伽罗瓦的贡献 174
4.3.1历史概述 174
4.3.2高斯在根式求解问题上的贡献 175
4.3.3根式求解与域的扩张 176
4.3.4伽罗瓦群 179
4.3.5伽罗瓦的主要结果 182
4.3.6伽罗瓦理论的应用 185
（一）回顾一般的二次到四次代数方程的根式求解问题 185
（二）回顾一般的5次及5次以上的代数方程的根式求解问题 185
（三）古典几何中的尺规作图难题 185
4.4旺泽尔的贡献 188
4.5群是关于对称性的度量 190
4.6代数学发展概况 191
参考文献 193
第五章 公理化方法与哥德尔定理 195
5.1公理化方法的起源及其问题 196
5.2非欧几何的出现及其影响 197
5.3关于数理逻辑的一些知识 200
5.4公理系统的相容性和完全性 202
5.5集合论和悖论 204
5.6希尔伯特的形式主义纲领 208
5.6.1形式主义 208
5.6.2关于形式系统的简单例子 210
5.7哥德尔定理 212
5.7.1哥德尔数——形式系统的算术化 212
5.7.2元数学语句的映射 215
5.7.3哥德尔定理的证明 217
（一）第一不完全性定理的证明 217
（二）第二不完全性定理的证明 219
5.7.4哥德尔定理的意义 220
5.8关于数学基础问题的小结 221
参考文献 222
第六章 圆周率及其计算——数学史中的一个案例 224
6.1关于圆周率π的远古史 224
6.2古代计算圆周率的阿基米德-刘徽方法 225
6.2.1历史概述 225
6.2.2误差分析 226
6.3 7π的无理性与超越性 227
6.3.1历史概述 227
6.3.2 7π是无理数的一个简短证明 228
6.4圆周率计算的近代史 230
6.4.1圆周率与无穷乘积 230
6.4.2圆周率与概率论 230
6.4.3用无穷级数计算π的近似值 232
6.4.4用外推法计算圆周率 234
6.4.5电子计算机的使用 235
6.5圆周率计算的现代史——关于算术几何平均值方法的介绍 236
6.5.1线性算法 236
6.5.2二阶算法及例子 237
6.5.3算术几何平均值 238
6.5.4全椭圆积分 239
6.5.5在求单摆周期上的应用 240
6.5.6计算圆周率的AGM算法 241
6.6圆周率计算的后现代史——计算π的指定位数字的方法 243
6.6.1关于圆周率的一个新公式 243
6.6.2计算a=bc modn的快速算法 244
6.7小结 245
附录 圆周率二阶迭代公式的证明 246
（一）公式推导 246
（二）误差分析 248
（三）几个不等式的证明 249
（四）其他算法 250
参考文献 251
第七章 数学进入生物学——经典遗传学中的数学方法 253
7.1关于孟德尔的简介 253
7.2分离定律 255
7.2.1孟德尔的豌豆实验 255
7.2.2孟德尔的发现 255
7.2.3分离定律与数学模型 257
7.2.4 ABO血型的遗传规律 259
7.2.5孟德尔的测交试验 259
7.3自由组合定律 259
7.4连锁与互换定律 261
7.4.1与孟德尔定律不符合的实验 261
7.4.2摩尔根学派 262
7.4.3基因和染色体 262
7.4.4连锁与交换定律 262
7.4.5用统计方法作基因的连锁图 263
7.4.6性染色体与伴性遗传 265
7.5哈代-温伯格定律 266
7.5.1守恒定律 266
7.5.2哈代-温伯格定律的证明 267
7.5.3对孟德尔实验的回顾 268
7.5.4正面应用哈代-温伯格定律的例子 269
7.6小结：孟德尔为什么会成功？ 270
附录 几个遗传学问题的数学探讨 271
（一）对于子二代F2中表型为显性的实验数据的批评 271
（二）隐性伴性基因比例的变化规律 272
（三）隐性表型不育时的隐性基因比例的变化规律 273
参考文献 274
人名索引 276