第一章 数学的源泉 1
1.1 数学是一门历史性的科学 1
1.1.1 一一对应记数法与位置计数系统 2
1.1.2 最早、最简单的数学模型——自然数 5
1.1.3 第一个几何模型——欧几里得几何 15
1.1.4 极限思想和积分思想的早期探索 18
1.1.5 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线 21
1.2 数学是社会实践的科学 24
1.2.1 运筹学诞生在战场 25
1.2.2 拓扑学的渊源 26
1.2.3 “赌博起家”的理论——概率论 30
1.3 自然科学的数学秩序 33
1.3.1 物理学理于数学 34
1.3.2 化学的数学化 37
1.3.3 生物数学的蓬勃发展 44
1.3.4 天文学的推力 47
1.4 创造是数学发展的内力 49
1.4.1 数学发展的内力源于雄厚的基础 49
1.4.2 源于数学体系内的问题是数学的生命线 51
1.4.3 数学猜想是数学发展的重要源泉 53
第二章 数学的严密性 56
2.1 严谨的逻辑是数学的向心力 57
2.1.1 公理演绎体系的基本格式 57
2.1.2 演绎法是数学中普遍采用的推理方法 58
2.2 精密是数学的本性 59
2.2.1 从算术到代数 60
2.2.2 从有限到无限 61
2.3 数学证明 70
2.3.1 合情推理是数学认识的有效途径 70
2.3.2 数学证明 78
2.4 机器证明 85
2.4.1 机器证明法 86
2.4.2 例证法 88
第三章 澄净的灵魂 91
3.1 智力的交响乐——数学思想 91
3.2 数形转换的思想 94
3.2.1 解析几何开辟了高等数学的新纪元 95
3.2.2 数形转换改变了射影几何的地位 96
3.3 变换的思想 98
3.3.1 线性变换 99
3.3.2 变换群与几何分类 100
3.4 模型化思想 103
3.4.1 数学模型的概念与分类 104
3.4.2 中国古代数学的模型化道路 107
3.5 公理化思想 111
3.5.1 数学公理思想的意义 111
3.5.2 建立公理体系的要求 113
3.5.3 公理化思想与结构主义 115
第四章 通向完美的桥梁——数学方法 119
4.1 数学方法的地位与作用 120
4.2 化归法 123
4.2.1 变形法 124
4.2.2 逐步逼近法 136
4.3 RMI方法 153
4.4 数学模型方法 161
4.4.1 数学自身的模型方法 162
4.4.2 运筹学模型方法 164
4.4.3 动态过程的模型 177
4.5 数学建模 181
4.5.1 数学建模的意义与步骤 181
4.5.2 数学建模例举 183
4.6 公理化方法 189
4.6.1 公理化方法的标志 190
4.6.2 形式公理化方法 191
第五章 数学的魅力 195
5.1 数学与美 195
5.2 数学之为用 218
5.2.1 宇宙速度与征空 218
5.2.2 运筹决策、总体优化 224
5.2.3 布尔代数与逻辑设计 231
5.2.4 考古学与数学 235
5.2.5 连分数在天文学上的应用 241
5.2.6 一些数学学科应用综述 248
5.3 数学猜想 252
5.3.1 何谓数学猜想 252
5.3.2 两种推理及其功能和相互关系 255
5.3.3 一条科学发现的逻辑 256
5.4 电子计算机的魔力 258
5.4.1 历史概况 258
5.4.2 电子计算机 260
5.4.3 现代计算机的意义 263
第六章 理解数学 268
6.1 一分为多与数学统一 269
6.1.1 多值逻辑 269
6.1.2 模糊数学 272
6.1.3 模糊逻辑 274
6.1.4 数学的统一性 276
6.2 数学的真理性 279
6.3 数学中的悖论 283
6.4 言微旨远 293
6.5 数学形式化与哥德尔定理 302
6.6 皈依自然、创造自由 308
6.6.1 皈依自然 308
6.6.2 自由的数学 313
6.6.3 自然的权威 315
参考文献 318