第1章 数列极限 1
1.1 实数的性质 两个重要不等式 1
1.2 数集的确界 3
1.3 数列的确界 5
1.4 数列的极限 7
1.5 极限运算的性质 收敛数列的性质 10
1.6 极限的存在性 实数集的完备性 11
1.7 极限运算和常见初等运算的关系 12
1.8 无穷小数列与无穷大数列 14
1.9 数e及其相关极限 15
1.10 数列的上下极限 16
1.11 不定型极限 Stolz法则 21
第2章 函数极限 26
2.1 函数及其相关概念 26
2.2 函数的最值 确界 振幅 28
2.3 函数极限的定义 30
2.4 函数的左右极限 32
2.5 函数在无穷远点的极限 32
2.6 对极限定义的总结 33
2.7 极限的性质 收敛函数的性质 33
2.8 极限的存在性 34
2.9 极限运算和常见运算的关系 求极限的变量替换法 37
2.10 无穷小量与无穷大量 38
2.11 不定型极限 求极限的例子 40
2.12 函数的上下极限 41
2.13 大O和小o 44
第3章 函数的连续性 46
3.1 函数在一点的连续性 46
3.2 函数在一点的左右连续性 间断点的分类 47
3.3 连续函数及其运算 48
3.4 闭区间上连续函数的性质 49
3.5 一致连续性 51
第4章 微分与导数 55
4.1 微分和导数的概念 55
4.2 单侧导数 导函数 56
4.3 导数的几何与物理意义 57
4.4 求导法则 59
4.5 常用导数公式 60
4.6 参变量求导法 绝对值求导法 对数求导法 64
4.7 微分学基本定理 65
4.8 高阶导数 67
4.9 微分法则 高阶微分 69
4.10 L'Hospital法则 70
4.11 Taylor公式 73
第5章 导数的应用 78
5.1 两个函数的差是常数的条件 78
5.2 函数的单调性 78
5.3 函数的凹凸性 81
5.4 函数的最值 84
5.5 函数的极值 86
5.6 函数的作图 87
第6章 原函数与不定积分 88
6.1 原函数与不定积分的概念 88
6.2 积分运算的线性性质 逐项积分法 88
6.3 第一类换元积分法——凑微分法 89
6.4 第二类换元积分法——参变量积分法 90
6.5 分部积分法 92
6.6 有理函数的积分 93
6.7 三角函数有理式的积分 95
6.8 无理函数的积分举例 96
6.9 说明和补充例子 97
第7章 定积分 100
7.1 定积分的概念 微积分基本公式 100
7.2 积分的性质 102
7.3 函数的可积性 可积函数的一些性质 103
7.4 变限积分及其性质 106
7.5 分部积分法 换元积分法 109
7.6 积分中值定理 分部求和公式 112
7.7 函数的特性与积分的计算 113
7.8 积分不等式 117
补充材料 H？lder不等式和Minkowski不等式 119
第8章 一元微积分的应用 向量值函数的微积分 121
8.1 曲线的长度 弧长微分 121
8.2 平面曲线的曲率 曲率半径 122
8.3 一元向量值函数的概念 极限 连续性 122
8.4 一元向量值函数的微分和导向量 124
8.5一元向量值函数的积分 125
第9章 广义积分 127
9.1 广义积分的概念 127
补充材料 广义积分的H？lder不等式和Minkowski不等式 130
9.2 广义积分的收敛性 130
9.3 Riemann引理 Riemann点 135
9.4 三个典型的广义积分 136
9.5 有限和的积分估计 有限积的阶估计 137
第10章 数项级数 无穷乘积 Euler求和公式 140
10.1 数项级数的概念和性质 140
10.2 正项级数的收敛性 146
补充材料 正项收敛级数余项的积分估计 152
10.3一般项级数的收敛性 152
补充材料 一般项收敛级数的余项估计 155
10.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的特殊性质 156
10.5 无穷乘积 158
10.6 Euler求和公式 Stirling公式 160
补充材料1 关于Kummer判别法 162
补充材料2 根值系列判别法 162
补充材料3 关于级数的两个不等式 163
补充材料4 正项级数的部分和与级数收敛性的关系 164
第11章 常见点集的结构 点列的极限 166
11.1 平面点集的结构 二维空间R2 166
11.2 空间点集的结构 三维空间R3 168
11.3 n维空间Rn n维空间点集的结构 169
11.4 点列的极限 170
11.5 闭集套定理 有限覆盖定理 聚点原理 171
第12章 多元函数的极限和连续性 173
12.1 多元函数的概念 173
12.2 多元函数的极限 174
12.3 偏极限 累次极限换序的充分条件 176
12.4 累次极限的换序公式和换序准则 178
12.5 多元函数的连续性 179
12.6 多元向量值函数 场的概念 181
12.7 向量值函数的极限 连续 曲面的参数方程 182
12.8 向量值连续函数的性质 184
第13章 多元函数的偏导数 微分 185
13.1 偏导数的概念 185
13.2 高阶偏导数 185
13.3 多元函数的微分 187
13.4 复合函数的求导法则 微分的形式不变性 188
13.5 微分中值定理 Taylor公式 191
第14章 向量值函数的微分 函数方程与隐函数 193
14.1 二元向量值函数的偏导向量 微分 193
14.2 n元向量值函数的偏导向量 微分 195
14.3 开映射定理 局部逆映射定理 198
14.4 逆映射存在的充分条件 逆映射的性质 199
14.5 函数方程及其解函数概述 202
14.6 隐函数的微分 203
14.7 隐函数存在定理 207
第15章 多元函数微分学的一些应用 210
15.1 曲面的切平面和法向量 曲线的切线 210
15.2 方向导数与梯度 212
15.3 多元函数的最值 Fermat原理 极值 213
15.4 条件最值 条件极值 Lagrange乘数法 214
第16章 函数列的收敛性 219
16.1 函数列的极限概念 219
补充材料 用多项式一致逼近连续函数 222
16.2 一致收敛性的判定 224
16.3 极限函数的极限连续微分 226
16.4 极限与定积分的换序 控制收敛定理 227
16.5 极限与广义积分的换序 单调收敛定理 229
第17章 函数项级数的一般理论 Taylor级数Fourier级数 232
17.1 函数项级数的概念及其收敛性 232
17.2 函数项级数的极限 连续 微分 236
17.3 函数项级数的积分 240
17.4 分式级数 函数项无穷乘积 242
17.5 幂级数的一般性质 243
17.6 Taylor级数 246
17.7 Fourier级数 249
补充材料 正交系的完备性 Parseval等式 256
第18章 多元函数的偏极限与偏积分 264
18.1 二元函数的偏极限 264
18.2 狭义偏积分 267
18.3 广义偏积分的收敛性 269
18.4 广义偏积分的极限和连续性 272
18.5 广义偏积分的微分 274
18.6 “有限区间×无限区间”上累次积分的换序 275
18.7 “无限区间×无限区间”上累次积分的换序 276
18.8 Beta函数 Gamma函数 280
18.9 Γ（s）的有限展开式 283
18.10 Fourier变换正余项变换 283
第19章 曲线积分 286
19.1 第一型曲线积分 286
19.2 第二型曲线积分 291
补充材料 第二型曲线积分的分部积分法 292
第20章 二重积分 296
20.1 二重积分的概念和性质 296
20.2 二重积分的计算 298
20.3 平面区域面积的求法 300
20.4 二重积分的变量替换 302
20.5 Green公式 306
20.6 积分与路径无关的条件 原函数问题 307
20.7 曲面的面积 308
第21章 曲面积分 311
21.1 第一型曲面积分 311
21.2 第二型曲面积分的概念 313
21.3 第二型曲面积分的计算 314
21.4 Stokes公式 空间曲线积分与路径无关的条件 317
第22章 三重积分 多重积分 319
22.1 三重积分的概念 319
22.2 三重积分的计算 320
22.3 三重积分的变量替换 322
22.4 Gauss公式 327
22.5 场论的基本概念 329
22.6 n重积分 332
补充材料 化重积分为累次积分的代数定限法 333
22.7 广义重积分 广义曲面积分 336
一些典型问题举例 342
部分练习题的答案与提示 368
参考文献 392