第1章 稀疏世界导论 1
1.1 稀疏表示 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 什么是稀疏性？ 2
1.1.3 稀疏性术语 4
1.1.4 最佳字典 4
1.2 从傅里叶到小波 5
1.3 从小波到过完备表示 6
1.3.1 过完备表示的好处 6
1.3.2 走向形态多样性 6
1.3.3 压缩感知：稀疏性与采样的联系 7
1.3.4 稀疏表示的应用 7
1.4 小波与曲波的新应用 7
1.4.1 地球观测图像的边缘检测 8
1.4.2 一幅彗星图像的小波显示 9
1.4.3 超声心动图仪图像的增强 10
1.4.4 图像分级和检索的曲波矩方法 11
1.5 总结 14
第2章 小波变换 15
2.1 引言 15
2.2 连续小波变换 15
2.2.1 定义 15
2.2.2 性质 16
2.2.3 反变换 16
2.3 小波函数的实例 17
2.3.1 Morlet小波 17
2.3.2 墨西哥帽小波 17
2.3.3 Haar小波 18
2.4 连续小波变换算法 19
2.5 离散小波变换 21
2.5.1 多分辨率分析 21
2.5.2 快速金字塔算法 23
2.5.3 二维抽取小波变换 25
2.6 非二进分辨率因子 28
2.7 提升格式 29
2.7.1 利用提升的小波变换例子 31
2.8 小波包 32
2.8.1 一维小波包 32
2.8.2 小波包二叉树 33
2.8.3 快速小波包变换 33
2.8.4 最优小波包基 34
2.8.5 二维小波包 35
2.9 数值实验指南 36
2.9.1 软件 36
2.9.2 一维分段光滑信号的连续小波变换 36
2.9.3 离散小波变换的非线性逼近 37
2.9.4 小波包的非线性逼近 39
2.10 总结 42
第3章 冗余小波变换 43
3.1 引言 43
3.2 非抽取小波变换 43
3.2.1 一维非抽取小波变换 43
3.3 部分抽取小波变换 47
3.4 对偶树复值小波变换 48
3.5 各向同性非抽取小波变换：Starlet变换 51
3.5.1 非抽取小波变换和Starlet变换的联系 55
3.6 非正交滤波器组的设计 56
3.6.1 正性重构滤波器 56
3.6.2 由非抽取Haar小波系数重构 57
3.6.3 迭代重建 60
3.7 金字塔小波变换 62
3.7.1 拉普拉斯金字塔 62
3.7.2 具有截止频率的尺度函数 63
3.7.3 其他塔型小波构造 68
3.8 数值实验指南 68
3.8.1 利用非抽取小波变换去噪 68
3.8.2 利用IDL Starlet变换的动态范围压缩 70
3.9 总结 73
第4章 非线性多尺度变换 74
4.1 引言 74
4.2 抽取非线性变换 74
4.2.1 整数小波变换 74
4.2.2 非规则网格上的小波变换 75
4.2.3 自适应小波变换 76
4.3 多尺度变换和数学形态学 76
4.3.1 数学形态学 76
4.3.2 提升格式与数学形态学 77
4.3.3 金字塔变换 78
4.3.4 非抽取多尺度形态变换 78
4.4 基于中值变换的多分辨分析 79
4.4.1 多尺度中值变换 79
4.4.2 塔型中值变换 81
4.4.3 融合小波与多尺度中值变换 82
4.5 数值实验指南 83
4.5.1 利用IDL的Starlet、多尺度中值变换和中值一小波变换 83
4.6 总结 85
第5章 脊波和曲波变换 87
5.1 引言 87
5.2 背景与例子 87
5.3 脊波 89
5.3.1 连续脊波变换 89
5.3.2 方形一极坐标的脊波变换 91
5.3.3 OFRT——标准正交有限脊波变换 94
5.3.4 快速倾斜叠加脊波变换 94
5.3.5 局部脊波变换 96
5.3.6 基于脊波的稀疏表示 97
5.4 曲波 98
5.4.1 第一代曲波变换 98
5.4.2 第二代曲波变换 101
5.5 曲波与对比度增强 106
5.6 数值实验指南 110
5.6.1 软件 110
5.6.2 利用DCTG2稀疏表示 110
5.6.3 利用DCTG2去噪 112
5.7 总结 116
第6章 稀疏性和噪声去除 117
6.1 引言 117
6.1.1 系数序列 118
6.2 逐系数非线性去噪 118
6.2.1 作为假设检验的阈值算法 118
6.2.2 硬阈值和软阈值 121
6.2.3 正交变换与过完备变换 123
6.3 非线性块去噪 125
6.3.1 观测模型 126
6.3.2 关于噪声的假设 127
6.3.3 多维块阈值化估计 128
6.3.4 阈值的选择 128
6.4 超越加性高斯噪声 129
6.4.1 乘性噪声 129
6.4.2 泊松噪声和Anscombe变换 130
6.4.3 高斯和泊松混合噪声 131
6.5 泊松噪声和Haar变换 131
6.5.1 泊松噪声的Haar系数 132
6.5.2 泊松噪声的双正交Haar小波系数 132
6.6 低计数泊松噪声 133
6.6.1 滤波泊松过程的方差稳定化变换 133
6.6.2 多尺度方差稳定化变换与Starlet变换的结合 134
6.6.3 多尺度方差稳定变换与非抽取小波变换的结合 137
6.6.4 多尺度方差稳定化变换与脊波的结合 139
6.6.5 多尺度方差稳定化变换与曲波变换的结合 141
6.7 数值实验指南 142
6.7.1 块去噪 143
6.7.2 彩色图像去噪 145
6.8 总结 146
第7章 线性反问题 147
7.1 引言 147
7.2 稀疏性正则化的线性反问题 148
7.3 单调算子分裂框架 150
7.3.1 凸分析基础 150
7.3.2 邻近微积分 151
7.3.3 分裂算法 156
7.4 选择的问题和算法 158
7.4.1 稀疏性惩罚问题 158
7.4.2 具有？q保真约束的稀疏性惩罚 163
7.4.3 Dantzig选择器 167
7.5 具有分析先验的稀疏性惩罚 168
7.5.1 分析先验与合成先验 168
7.5.2 算法与收敛性 169
7.6 反问题中的其他稀疏性正则化 170
7.6.1 非线性反问题 171
7.6.2 对于超过两个函数的分裂法 171
7.7 一般性讨论：稀疏性、反问题以及迭代阈值法 172
7.7.1 迭代软阈值：简洁性和鲁棒性 172
7.7.2 迭代软阈值方法中的可变正则化参数 172
7.7.3 通向非凸惩罚项：迭代硬阈值 173
7.8 数值实验指南 174
7.8.1 稀疏分解 174
7.8.2 稀疏尖峰脉冲去卷积 175
7.9 总结 176
第8章 形态多样性 178
8.1 引言 178
8.1.1 稀疏分解问题 178
8.1.2 形态多样性的概念 180
8.2 字典和快速变换 181
8.3 组合去噪 181
8.3.1 多个变换优于单个变换 181
8.3.2 组合去噪算法 182
8.4 组合去模糊 186
8.4.1 问题描述 186
8.4.2 组合去模糊算法 187
8.5 形态成分分析 189
8.5.1 信号和图像分解 189
8.5.2 形态成分分析算法 190
8.5.3 阈值处理策略 192
8.5.4 恢复的保证 193
8.5.5 处理加性高斯噪声 194
8.5.6 形态成分分析与基追踪的稀疏恢复 194
8.6 纹理一卡通分离 197
8.6.1 选择一个字典 197
8.6.2 分离算法 198
8.6.3 全变差和非抽样Haar变换 198
8.7 图像修补 203
8.7.1 问题描述 203
8.7.2 图像修补形态成分分析法 204
8.7.3 图像修补迭代软阈值法 205
8.8 数值实验指南 209
8.8.1 MCALab 209
8.8.2 可重现的实验 212
8.9 总结 215
第9章 稀疏盲源分离 216
9.1 引言 216
9.2 独立成分分析 218
9.2.1 独立性作为对比性准则 218
9.2.2 独立性与高斯性 219
9.2.3 独立成分分析算法 220
9.2.4 独立成分分析的局限性 220
9.2.5 通向稀疏性 221
9.3 稀疏性与多通道数据 222
9.3.1 频谱形态多样性 222
9.3.2 多通道稀疏分解 223
9.4 形态多样性与盲源分离 224
9.4.1 广义形态成分分析 224
9.4.2 贝叶斯观点 228
9.4.3 快速广义形态成分分析算法 229
9.4.4 估计源的数量 231
9.5 说明性实验 234
9.5.1 越稀疏越好 234
9.5.2 广义形态成分分析和含噪声数据 236
9.5.3 多通道图像修补 238
9.6 数值实验指南 240
9.6.1 GMCALab 240
9.6.2 可重复实验 240
9.7 总结 241
第10章 球面上的多尺度几何分析 242
10.1 引言 242
10.2 球面上的数据 243
10.2.1 HEALPix 243
10.2.2 球面谐波 244
10.3 球面上的正交Haar小波 244
10.4 球面上的连续小波 245
10.4.1 赤平极射投影 245
10.4.2 墨西哥帽小波 246
10.4.3 方向小波 246
10.5 具有精确重建的球面上冗余小波变换 249
10.5.1 球面上的各向同性非抽取小波变换 249
10.5.2 球面上的各向同性塔型小波变换 254
10.6 球面上的曲波变换 257
10.6.1 球面上的曲波 257
10.6.2 曲波变换算法 258
10.6.3 球面上的塔型曲波变换 259
10.7 球面上的图像恢复与分解 261
10.7.1 去噪 261
10.7.2 形态成分分析 262
10.7.3 修补 262
10.8 应用 264
10.8.1 在核聚变物理中的应用 264
10.8.2 宇宙学中的应用 265
10.9 数值实验指南 268
10.9.1 MR/S工具箱 268
10.9.2 球面上非抽取小波变换 268
10.9.3 球面上塔型小波变换 268
10.10 总结 270
第11章 压缩感知 271
11.1 引言 271
11.2 不相干性和稀疏性 272
11.3 感知协议 272
11.3.1 不相干感知与稀疏信号恢复 273
11.4 稳定压缩感知 275
11.4.1 约束等距性（RIP） 275
11.4.2 对于可压缩性和噪声的稳定性 275
11.5 设计良好的矩阵：随机感知 276
11.6 冗余字典的感知 277
11.7 在空间科学中的压缩感知 277
11.7.1 数据转换的困境 277
11.7.2 压缩感知解决方案 278
11.8 数值实验指南 279
11.9 总结 281
算法列表 282
参考文献 284