第一章 预备知识 1
第一节 点集拓扑学基本概念 1
一、拓扑空间 1
二、度量空间 2
三、连续映射 3
四、各种紧性 3
第二节 抽象测度与积分 6
一、抽象测度与积分 6
二、Radon测度 11
三、Riesz表示定理 13
四、测度列的收敛 15
五、Hausdorff测度 16
第三节 抽象Banach空间 17
一、赋范空间 17
二、局部凸线性拓扑空间 20
三、泛函分析的三个基本定理 21
四、对偶弱收敛弱收敛 22
第四节 Ho1der空间 广函 弱可微函数 27
一、Ho1der空间 27
二、用多项式逼近 28
三、连续函数空间之间的嵌入 29
四、广义函数 30
五、弱导数 31
第五节 Fourier变换 33
一、Fourier变换的L1理论 33
二、Fourier变换的L2理论 37
三、速降函数及其Fourier变换 39
四、缓增广义函数及其Fourier变换 41
第二章 Lp空间 43
第一节 概念与基本性质 43
一、 空间Lp（Ω） 43
二、Holder不等式 44
三、完备 可分 一致凸性 46
第二节 卷积与正则化 49
一、卷积 49
二、Young不等式 50
三、正则化与光滑逼近 51
第三节 Lp（Ω）的赋范对偶 54
一、情形1＜p＜∞ 54
二、L1 （Ω）的对偶空间 56
三、L∞（Ω）的对偶空间 57
四、自反性结论 58
第四节 Lp（Ω）中的收敛性 59
一、Lp（Ω）中的相对紧集 59
二、Brezis-Lieb引理 62
第五节 Besicovitch微分定理 64
一、覆盖定理 64
二、极大函数 70
三、微分定理 73
第三章 Lorentz空间与Orlicz空间 77
第一节 函数的对称重排 77
一、分布函数及其积分 77
二、函数的单减球面对称重排 79
第二节 Lorentz空间 82
一、Lorentz空间 82
二、Lorentz空间上的Holder不等式 84
第三节 Orlicz空间 85
一、N函数 85
二、Orlicz空间 88
三、Orlicz空间的对偶 90
四、Lp（x） （Ω）空间简介 95
第四章 Sobolev空间Ⅰ 97
第一节 整数阶Sobolev空间 97
一、空间Wm，p（Ω）与Wm，0p（Ω） 97
二、齐次Sobolev空间Dm，p（Rn） 100
三、光滑逼近 101
四、对偶空间 105
第二节 Sobolev不等式 110
一、Gagliardo-Nirenberg的方法 110
二、Sobolev不等式-Riesz位势法 111
三、Poincare不等式Wm，0p的等价范数 119
第三节 W m，0 p（Ω）的嵌入 120
一、到LqΩ）的嵌入 120
二、Wm ，0p（Ω）到Holder空间的嵌入 124
三、Wm ，0p（Ω）到Orlicz空间的嵌入 129
四、Rellich-Kondrachov紧嵌入定理 133
第五章 Sobolev空间Ⅱ 135
第一节 Wm ，p（Ω）的嵌入 135
一、经典结论 136
二、延拓定理 插值定理 139
三、一些新发展 143
第二节 分数阶Sobolev空间 145
一、空间W s，p（Rn） 145
二、空间Ws，p（Ω） 147
三、Sobolev容度与迹 151
四、迹嵌入定理 153
第三节 最佳嵌入不等式 156
一、最佳常数S的极值函数 156
二、最佳Trudinger不等式 157
第四节 流形上的Sobolev空间 161
一、Sobolev嵌入定理 161
二、Trudinger不等式 164
三、加权函数空间 166
第六章 有界变差函数 169
第一节 有界变差函数 169
一、有界变差函数 170
二、高阶有界变差函数 174
三、嵌入定理 175
第二节 球面对称重排的逼近 177
一、极化 178
二、极化的基本性质 180
三、用极化逼近 184
第三节 重排与积分不等式 188
一、Polya-Szego不等式 188
二、等周不等式 193
三、余面积公式 196
四、散度定理 197
五、Talenti比较原理 198
第七章 Lorentz-Sobolev空间与Orlicz-Sobolev空间 203
第一节 Lorentz-Sobolev空间 203
一、Hardy不等式 205
二、到Lorentz空间的Sobolev嵌入 209
三、O’Neil引理 210
四、Lorentz-Sobolev空间及嵌入定理 216
第二节 Orlicz-Sobolev空间 218
一、空间Wm,？ （Ω）与Wm，0？ （Ω） 218
二、嵌入定理 219
第八章 Riesz位势与Riesz变换 227
第一节 算子插值简介 227
一、Marcinkiewicz插值定理 227
二、一个例子 233
第二节 Riesz位势 234
一、Riesz位势的形式推演 234
二、Riesz位势的算子插值性质 239
第三节 Riesz变换 240
一、Riesz变换及其特性 240
二、经典奇异积分 243
第九章 BMO空间与H1空间 251
第一节 BMO与VMO空间 251
一、BMO（Rn） 251
二、John-Nirenberg不等式 255
三、VMO（Rn） 259
第二节 Hardy空间H1的原子刻画 260
一、原子H1，q空间 261
二、Fefferman对偶定理 265
第三节 H1的极大函数刻画 272
一、用Poisson极大函数刻画 272
二、几种极大函数 282
三、H1（Rn）各种极大函数刻画的等价性 288
第四节 H1的Riesz变换刻画 292
一、用调和函数刻画 292
二、共轭调和函数系 294
三、用Riesz变换刻画 300
参考文献 303
索引 316