第一章 导论 1
1.1问题提出的背景 1
1.1.1数学无限的认识发展一瞥 2
1.1.2对数学无限的认识窘状 6
1.2研究的问题 6
1.2.1研究的线索一：学生对无限的诸层次的认识状况和影响因素 6
1.2.2研究的线索二：学生对相关数学无限概念的理解 7
1.3本研究的意义 7
1.4本书的结构 8
第二章 文献述评和研究思想框架的形成 10
2.1关于无限的界定 10
2.1.1关于哲学上的无限的界定 10
2.1.2关于数学哲学上的无限界定 11
2.1.3本书所研究的数学无限的界定 11
2.2无限思辩的两个观点 12
2.2.1哲学意义上的潜无限和实无限 12
2.2.2数学上的潜、实无限观的认识发展一瞥 14
2.2.3数学上的三大流派对无限的不同观点 16
2.2.4小结 18
2.3对无限认识的研究综述 18
2.3.1对个体实无限的认识研究 18
2.3.2关于无限的隐喻（metaphor）研究 20
2.3.3关于无限认识的分类研究 21
2.4研究思想架构的形成 22
2.4.1学习的认知弹性理论 22
2.4.2数学概念学习的APOS理论 24
2.4.3无限认识层次划分的依据 26
2.4.4层次划分 30
2.4.5无限认识量表使用说明 33
第三章 研究的设计与方法 34
3.1总体和样本 34
3.1.1学校 34
3.1.2学生和教师 35
3.2研究工具 36
3.2.1问卷调查表 36
3.2.2访谈 37
3.2.3工具的试验 38
3.3研究的具体问题 38
3.3.1线索一的具体研究问题 38
3.3.2线索二的具体研究问题 38
3.4数据收集，处理与分析 39
3.4.1数据收集与评分 39
3.4.2数据的处理与分析 39
3.5研究的优点和局限性 40
第四章 研究结果（一）：朴素认识 41
4.1朴素认识是学生认识无限的开端 41
4.2朴素认识的标准尺度 43
4.3研究结果一：初三学生对无限的朴素认识 45
4.3.1初三学生对无限的朴素认识的普遍状况 45
4.3.2初三学生朴素认识的心理模式特点 45
4.4研究结果二：初三学生和高三学生的朴素认识没有显著性差异 49
4.5小结 50
4.5.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识 50
4.5.2高三学生和初三学生的朴素认识没有显著性差异 51
4.5.3教学启示和建议 51
第五章 研究结果（二）：直觉认知 53
5.1初级直觉认知和高级直觉认知的内涵 54
5.2直觉认知的标准尺度 55
5.3研究结果一：初三学生的初级直觉认知 57
5.3.1初三学生的初级直觉认知的大体得分状况分析 57
5.3.2初三学生容易出现无限直觉的经验化心理趋向 58
5.3.3初三学生直觉认知水平与数学成绩的相关性 61
5.4研究结果二：高三学生的高级直觉认知 63
5.4.1高三学生高级直觉认知现状分析 63
5.4.2实证研究 63
5.5研究结果三：学生直觉认知的年龄阶段性 65
5.5.1小学生的无限直觉认识 65
5.5.2初中生与高中生初步直觉认识比较 66
5.5.3高三学生和大二学生高级直觉认识比较 68
5.6研究结果四：学生对涉及无限的数学概念的直觉认知 70
5.6.1初三学生对平行线的理解 70
5.6.2高三学生对单调性的实无限认知 77
5.6.3小结 86
5.7教师的无限直觉认知的一点调查 87
5.8小结 89
5.8.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志 89
5.8.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素 90
5.8.3教学启示和建议 90
第六章 研究结果（三）：无限思辩方式 92
6.1无限思辩方式的内在矛盾性 92
6.1.1无限思辩方式内在矛盾性内涵 92
6.1.2无限思辩方式的三维结构 93
6.2思辩方式的标准尺度 94
6.3高三学生的无限思辩特点分析 98
6.3.1现状分析 98
6.3.2高三学生的无限思辩特点 99
6.3.3个案对比研究分析 103
6.3.4思辩方式得分和学生的数学成绩的相关性 105
6.4高三学生无限思辩能力的稳定性 106
6.4.1高三和初三学生思辩能力比较 106
6.4.2高三学生与大二学生思辩能力比较 107
6.5小结 109
6.5.1高三学生的无限思辩方式特点 109
6.5.2高三学生无限思辩能力具有稳定性 109
6.5.3教学启示和建议 109
6.5.4初三、高三学生无限认识水平的简要概括 111
第七章 研究结果（四）：演绎层次 112
7.1演绎层次的内涵 112
7.1.1极限和无限的关系 113
7.1.2极限的思想内涵 113
7.1.3语言的本质 115
7.2演绎层次的标准尺度 116
7.2.1无穷小分析（极限）的标准尺度 116
7.2.2严密系统层次的标准尺度 116
7.3研究结果一：大二学生对演绎层次的理解 116
7.3.1大二学生对演绎层次的总体得分状况 116
7.3.2大二学生对极限的思想内涵的理解 117
7.3.3大二学生对语言的理解 120
7.3.4大一学生对定义中包含的“有分界”的无限的理解 130
7.4研究结果二：大二学生对涉及极限的数学概念的定义的理解 134
7.4.1微积分总体无限逼近思想的几何直观——以直代曲 134
7.4.2大二学生对连续、可导、可积的极限思想的理解 136
7.5对高校数学教授定义的理解的一点调查 139
7.6替代定义的某些尝试 141
7.6.1张景中院士的“不等式法”的思想 142
7.6.2张景中院士的“不等式法”的意义 142
7.7小结 143
7.7.1“动态分析”是演绎层次的重要标志 143
7.7.2理解极限的定义中的“有分界”的无限是关键 143
7.7.3阻碍学生理解定义的主要因素 143
7.7.4大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足 144
7.7.5教学启示和建议 144
第八章 研究结果（五）：超限数理论初步认识 145
8.1超限数理论的内涵 145
8.1.1 Cantor发明超限数理论一瞥 146
8.1.2 Cantor的超限数理论是实无限理论 147
8.2超限数理论初步思想的标准尺度 148
8.3研究结果一：大二学生对无限集合“一一对应”的理解 150
8.3.1学生对“不同长度线段的点数相同”的理解 150
8.3.2实证研究 154
8.4研究结果二：大二学生对超限数运算的理解 159
8.4.1超限数运算的涵义 159
8.4.2实证研究 160
8.5研究结果三：“芝诺悖论”解释—极限和超限数理论的共同应用 162
8.5.1关于“芝诺悖论”的解释 162
8.5.2学生对“芝诺悖论”的认识状况调查 165
8.6小结 167
8.6.1大二学生对“一一对应”理解倾向 167
8.6.2大二学生对超限数的认识倾向 167
8.6.3教学启示和建议 167
第九章 结论、建议和反思 168
9.1从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势 168
9.2学生对无限本质的认识 169
9.2.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志 169
9.2.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素 169
9.2.3“动态分析”是演绎层次的重要标志 170
9.2.4理解极限的ε-8定义中的“有分界”的无限是关键 170
9.3学生对数学极限概念的认识 170
9.3.1大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足 170
9.3.2阻碍学生理解ε-δ定义的主要因素 171
9.4学生无限认识的心理倾向 171
9.4.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识 171
9.4.2高三学生的无限思辩的心理倾向性 172
9.4.3大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向 172
9.5教学建议 173
9.5.1在教学中注重学生无限观的培养 173
9.5.2注重提高中学教师的数学无限素养 176
9.5.3对教材体系安排的一点建议 176
9.5.4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求 177
9.5.5对教学评价的建议 180
9.6本研究的不足和进一步研究的方向 180
9.6.1本研究的不足 180
9.6.2进一步研究的方向 181
参考文献 182
附录一 初三学生无限认识量表 191
附录二 大一新生（高三学生）无限认识量表 197
附录三 大二学生无限认识量表 203
附录四 实数与实数集合中无限的魅力 210
后记 213