第1章 复数与复变函数 1
1.1复数 1
1.1.1复数与共轭复数 1
1.1.2复平面与复数的表示 2
1.1.3无穷远点与扩充复平面 9
1.2复平面上的拓扑 10
1.2.1平面点集的几个基本概念 10
1.2.2平面区域与若当曲线 13
1.3复变函数 16
1.3.1复变函数的基本概念 16
1.3.2复变函数的极限与连续 18
习题1 23
第2章 解析函数与初等解析函数 27
2.1解析函数的概念和柯西-黎曼条件 27
2.1.1解析函数的概念 27
2.1.2柯西-黎曼条件 30
2.1.3解析函数实部与虚部的调和性 33
2.2初等单值解析函数 37
2.2.1复指数函数 37
2.2.2复三角函数与复双曲函数 39
2.3初等多值解析函数 41
2.3.1辐角函数 41
2.3.2对数函数 44
2.3.3根式函数与一般幂函数 46
2.4问题研究 50
习题2 52
第3章 柯西积分定理与柯西积分公式 56
3.1复积分的概念、基本计算与基本性质 56
3.1.1复积分 56
3.1.2复积分的基本计算 58
3.1.3复积分的基本性质 60
3.2柯西积分定理 61
3.2.1单连通区域内的柯西积分定理及其推广 61
3.2.2不定积分 64
3.2.3多连通区域上的柯西积分定理（复合闭路定理） 69
3.2.4单连通区域内柯西积分定理的证明 71
3.3柯西积分公式 72
3.3.1柯西积分公式 72
3.3.2解析函数的若干性质 75
3.3.3柯西不等式和刘维尔定理 78
3.4问题研究 80
习题3 81
第4章 解析函数的幂级数展开与唯一性 85
4.1复级数 85
4.1.1复数列与复数项级数 85
4.1.2复函数项级数的一致收敛与判别 90
4.1.3复函数项级数和函数的性质 91
4.2幂级数 94
4.2.1幂级数的敛散性 94
4.2.2幂级数的收敛半径 95
4.2.3幂级数的性质 98
4.3泰勒定理与解析函数的幂级数展开 99
4.3.1泰勒定理与解析函数的幂级数定义法 99
4.3.2初等解析函数的幂级数展开 101
4.4解析函数零点的孤立性与唯一性 104
4.4.1解析函数零点的孤立性 104
4.4.2解析函数的唯一性 107
4.4.3最大模原理与施瓦茨引理 108
习题4 112
第5章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点 115
5.1解析函数的洛朗展式 115
5.1.1洛朗级数的收敛性及其和函数的解析性 115
5.1.2解析函数的洛朗展开定理 116
5.1.3解析函数洛朗展式的求法 118
5.2解析函数的孤立奇点 121
5.2.1孤立奇点的分类 121
5.2.2各类有限孤立奇点的特征 122
5.3解析函数在无穷远点的性质 126
5.3.1 ∞为孤立奇点的定义 126
5.3.2孤立奇点∞与有限孤立奇点的关系及分类 127
5.3.3孤立奇点∞为各类孤立奇点的判定 129
5.4整函数与亚纯函数的分类 130
5.4.1整函数的定义与分类 130
5.4.2亚纯函数的定义与分类 130
习题5 132
第6章 留数理论与辐角原理 135
6.1留数的一般理论 135
6.1.1留数的定义与留数定理 135
6.1.2留数的算法 136
6.1.3无穷远点处的留数与留数定理的推广 138
6.2利用留数计算实积分 140
6.3辐角原理及其应用 147
6.3.1辐角原理 147
6.3.2儒歇定理 149
6.3.3单叶解析函数的导数特征 150
习题6 152
第7章 共形映射 155
7.1解析映射的特征 155
7.1.1解析映射的保域性 155
7.1.2解析映射的保角性 156
7.1.3单叶解析映射的共形性 158
7.2分式线性映射 159
7.2.1分式线性映射的概念及其分解 159
7.2.2分式线性映射的性质 161
7.2.3分式线性映射的应用 165
7.3几类初等函数所构成的共形映射 168
7.3.1幂函数与根式函数 168
7.3.2指数函数与对数函数 169
7.3.3初等函数构成的共形映射的应用 170
7.4黎曼存在定理与边界对应定理 171
7.4.1解析映射的一个基本问题 171
7.4.2黎曼存在及唯一性定理 171
7.4.3边界对应定理 172
习题7 174
索引 178
参考文献 180