第一章 微商 1
1.1微积分研究什么 1
1.1.1微积分与初等数学研究对象的比较 1
1.1.2微积分研究的两类典型问题 2
1.2预备知识 3
1.2.1逻辑符号 3
1.2.2邻域 3
1.2.3不等式 3
1.2.4数列极限 5
习题1-2 12
1.3函数 13
1.3.1函数的概念 13
1.3.2函数的运算 15
1.3.3函数的改变量与差商 17
1.3.4复合运算@复合函数 18
1.3.5函数的几种特性 20
1.3.6函数模型 22
习题1-3 26
1.4函数的极限 29
1.4.1 x→x0时函数f（x）的极限 29
1.4.2函数极限的运算与性质 33
1.4.3第一个重要极限 36
习题1-4 37
1.5函数的连续性 39
1.5.1连续与间断的直观描述 39
1.5.2连续与间断的定义 40
1.5.3初等函数的连续性 45
1.5.4闭区间上连续函数的性质 47
习题1-5 48
1.6函数在无穷远处的极限 49
1.6.1 x→∞时函数f（x）的极限 49
1.6.2第二个重要极限 53
习题1-6 56
1.7无穷小量及其比较 57
1.7.1无穷小量 57
1.7.2无穷小量的比较 59
习题1-7 62
1.8微商 63
1.8.1微积分的典型问题之一——切线问题 63
1.8.2微商概念 64
1.8.3可微性与连续性 71
1.8.4数学怪物——科赫（Koch）雪花曲线·分形几何学简介 73
习题1-8 74
第一章的重要概念与公式 76
总练习题一 77
第二章 微分法 81
2.1微商的运算法则 81
2.1.1基本微商公式 81
2.1.2函数和、差、积、商的微商法则 81
2.1.3反函数微商法则 85
2.1.4复合函数微商法则 87
2.1.5隐微分法 89
习题2-1 91
2.2高阶微商 93
2.2.1高阶微商 93
2.2.2关于函数乘积微商的莱布尼茨（Leibniz）公式 96
习题2-2 97
2.3微分及其应用 99
2.3.1微分及其运算 99
2.3.2微分的应用 103
习题2-3 110
第二章的重要概念与公式 112
总练习题二 113
第三章 微商的应用 116
3.1微分中值定理 116
3.1.1函数的极值与费马（Fermat）引理 116
3.1.2微分中值定理 117
3.1.3微分中值定理的证明 121
习题3-1 122
3.2用微商研究函数 123
3.2.1函数单调性的判别法 123
3.2.2函数极值的检验法 126
3.2.3曲线的凸性与拐点 129
3.2.4函数作图 131
习题3-2 134
3.3最优化问题 136
3.3.1最大值、最小值 136
3.3.2最优化问题 137
习题3-3 142
3.4相对变化率与相关变化率 143
3.4.1边际与边际分析 143
3.4.2弹性与弹性分析 146
3.4.3相关变化率 150
习题3-4 151
3.5洛必达（L’Hospital）法则 153
3.5.1洛必达法则 153
3.5.2洛必达法则的证明 157
3.5.3其他类型不定式的极限 158
习题3-5 161
第三章的重要概念与公式 162
总练习题三 163
第四章 积分及其应用 167
4.1定积分 167
4.1.1微积分的典型问题之二——面积问题 167
4.1.2定积分概念 168
4.1.3可积的充分条件 170
习题4-1 171
4.2定积分与原函数的关系 171
4.2.1直观背景 171
4.2.2原函数与不定积分 173
4.2.3微积分基本定理 177
习题4-2 180
4.3定积分的性质 182
习题4-3 187
4.4积分法 188
4.4.1直接积分法 188
4.4.2换元积分法 190
4.4.3分部积分法 204
4.4.4积分表的使用 209
4.4.5数值积分法 209
习题4-4 213
4.5定积分的应用 217
4.5.1反常积分 217
4.5.2面积、体积、弧长的计算 223
4.5.3定积分在经济管理与社会科学中的应用 231
习题4-5 234
第四章的重要概念与公式 236
总练习题四 237
第五章 微分方程与差分方程 244
5.1微分方程基础 244
5.1.1实际背景 244
5.1.2基本概念 247
习题5-1 249
5.2一阶微分方程 249
5.2.1可分离变量的微分方程 249
5.2.2齐次（微分）方程 251
5.2.3一阶线性微分方程 253
5.2.4微分方程的应用（连续模型） 258
习题5-2 261
5.3二阶微分方程 264
5.3.1可降阶的二阶微分方程 264
5.3.2二阶常系数线性微分方程 265
5.3.3微分方程组 272
习题5-3 277
5.4差分方程 278
5.4.1差分方程基础 278
5.4.2一阶常系数线性差分方程 282
5.4.3二阶常系数线性差分方程 284
5.4.4差分方程的应用（离散模型） 286
习题5-4 294
第五章的重要概念与公式 295
总练习题五 296
第六章 多元函数微分学 300
6.1曲面与空间曲线 300
6.1.1空间直角坐标系 300
6.1.2曲面 304
6.1.3空间曲线 306
6.1.4向量及其运算 309
习题6-1 314
6.2多元函数 315
6.2.1多元函数概念 315
6.2.2等高线·等产量线 317
6.2.3二元函数的极限与连续 317
习题6-2 318
6.3偏微商 320
6.3.1偏微商与全微分 320
6.3.2偏微商的应用 323
6.3.3高阶偏微商 326
习题6-3 327
6.4多元复合函数微分法 328
6.4.1多元复合函数微分法 328
6.4.2隐微分法 332
习题6-4 335
6.5最优化问题 337
6.5.1二元函数的极值 337
6.5.2无约束最优化问题 339
6.5.3约束最优化问题 340
6.5.4最小二乘法与数学建模 345
6.5.5线性规划 351
习题6-5 353
第六章的重要概念与公式 356
总练习题六 357
第七章 二重积分 360
7.1二重积分概念 360
7.1.1实际背景 360
7.1.2二重积分定义 361
7.1.3二重积分的性质 362
习题7-1 364
7.2二重积分的计算 365
7.2.1在直角坐标下计算二重积分 365
7.2.2在极坐标下计算二重积分 370
习题7-2 373
7.3二重积分的应用 375
7.3.1用二重积分计算概率积分∫+∞/0 e-x2dx 375
7.3.2用二重积分计算体积与面积 376
7.3.3二重积分在社会科学中的应用 379
习题7-3 380
第七章的重要概念与公式 381
总练习题七 381
第八章 无穷级数 384
8.1数项级数 384
8.1.1基本概念 384
8.1.2基本性质·级数收敛的必要条件 390
8.1.3正项级数的收敛检验法 391
8.1.4交错级数·莱布尼茨检验法 396
8.1.5绝对收敛·条件收敛 398
习题8-1 399
8.2幂级数 401
8.2.1幂级数概念与性质 401
8.2.2幂级数的收敛半径 402
8.2.3幂级数的运算 405
习题8-2 408
8.3泰勒级数 409
8.3.1问题的提出 409
8.3.2泰勒公式 412
8.3.3函数的泰勒展开式 414
8.3.4泰勒级数的应用 418
习题8-3 421
第八章的重要概念与公式 423
总练习题八 424
附录一MATLAB基础知识简介 428
1 MATLAB快速入门 428
2 变量与数据 429
3 MATLAB库函数 431
4 逻辑运算与控制语句 433
5 M文件与M函数 436
附录二 数学实验 438
实验一 方程根的近似计算 438
实验二 一元函数图形的绘制 440
实验三 数值积分 443
实验四 微分方程的数值解法 445
实验五 空间图形的绘制 448
实验六 利用泰勒级数作近似计算 450
实验七 综合设计实验——绘制特殊曲线 452
附录三 常用几何曲线 456
附录四 积分表 459
部分习题答案 468
名词术语索引 497
参考文献 502