第1章 广义函数论 1
1.1 度量空间 1
1.1.1 度量空间的定义 1
1.1.2 压缩映射原理 3
1.2 Hilbert空间 6
1.2.1 积 6
1.2.2 Hilbert空间 8
1.3 线性算子 12
1.3.1 线性算子的连续性与有界性 12
1.3.2 本征值与本征函数 14
1.4 广义函数 18
1.4.1 基本函数空间 18
1.4.2 广义函数 20
1.4.3 广义函数基本运算 22
第2章 积分变换 26
2.1 复变函数的积分与留数定理 26
2.1.1 复变函数的积分 26
2.1.2 留数定理 34
2.2 Fourier变换 43
2.2.1 基本函数空间上的 Fourier变换 44
2.2.2 广义函数的Fourier变换 50
2.3 Laplace变换 52
2.3.1 定义及其性质 52
2.3.2 Laplace变换的逆变换 56
第3章 二阶常微分方程的幂级数解 62
3.1 二阶线性常微分方程的基本理论 62
3.1.1 二阶常系数线性方程的通解结构 62
3.1.2 阶变系数的常微分方程 63
3.2 阶常微分方程常点附近的幂级数解 69
3.2.1 幂级数解的存在唯一性 69
3.2.2 Hermite多项式Legendre多项式 72
3.3 正则奇点附近的幂级数解 78
3.3.1 一级极点附近的幂级数解 78
3.3.2 正则奇点附近的幂级数解 80
3.3.3 Bessel函数 84
第4章 稳态问题的解析方法 91
4.1 位势方程 91
4.1.1 位势方程的基本解 92
4.1.2 Green函数方法 95
4.1.3 调和函数的性质 103
4.2 变分法 108
4.2.1 无约束泛函极值 111
4.2.2 约束的泛函极值 118
第5章 演化方程的解析方法 124
5.1 热传导方程的解析方法 124
5.1.1 热传导方程Cauchy问题的基本解 125
5.1.2 初边值问题的分离变量法 129
5.1.3 热传导方程的性质 135
5.2 波动方程的解析方法 139
5.2.1 波动方程的Cauchy问题的基本解 140
5.2.2 波动方程的初边值问题 149
5.2.3 波动方程的性质 155
第6章 曲线坐标系中的分离变量法 160
6.1 流形上的微分算子 160
6.1.1 微分流形 160
6.1.2 Riemann度量 166
6.1.3 流形上的微分算子 168
6.1.4 正交曲线坐标系中的Laplace-Beltrami算子 173
6.2 正交曲线坐标系中的分离变量法 175
6.2.1 球坐标系中的分离变量 176
6.2.2 柱坐标系中的分离变量 181
参考文献 188
索引 189