第1章 绪论 1
1.1 算法 1
1.1.1 算法的表形式 1
1.1.2 算法常具有的基本特征 2
1.2 误差 4
1.2.1 误差的来源 4
1.2.2 误差的基本概念 5
1.2.3 有效数字 6
1.3 数值运算时误差的传播 7
1.3.1 一元函数计算误差的传播 7
1.3.2 多元函数计算时误差的传播 8
1.3.3 四则运算中误差的传播 8
1.3.4 设计算法时应注意的问题 9
1.3.5 病态问题数值算法的稳定性 10
习题1 11
第2章 线性方程组的直接解法 13
2.1 引言 13
2.2 Gauss消元法 13
2.2.1 Gauss消元法的基本思想 14
2.2.2 Gauss消元法公式 14
2.2.3 Gauss消元法的条件 15
2.3 选主元的Gauss消元法 16
2.3.1 列主元消元法 16
2.3.2 全主元消元法 17
2.4 Gauss-Jordan消元法 18
2.4.1 Gauss-Jordan消元法的过程 18
2.4.2 方阵求逆 19
2.5 矩阵的LU分解 20
2.5.1 矩阵LU分解 20
2.5.2 直接LU分解 22
2.5.3 行列式求法 24
2.5.4 Crout分解 25
2.6 平方根法 26
2.6.1 矩阵的LDU分解 26
2.6.2 对称正定矩阵的Cholesky分解 26
2.6.3 平方根法和改进的平方根法 27
2.7 追赶法 28
2.8 向量和矩阵的范数 32
2.8.1 向量范数 32
2.8.2 矩阵范数 33
2.8.3 谱半径 34
2.8.4 条件数及病态方程组 35
习题2 39
第3章 线性方程组的迭代解法 42
3.1 迭代法的一般形式 42
3.2 几种常用的迭代法公式 42
3.2.1 Jacobi迭代法 42
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 44
3.2.3 SOR迭代法 45
3.3 迭代法的收敛条件 47
3.3.1 从迭代矩阵B判断收敛 47
3.3.2 从系数矩阵A判断收敛 49
3.4 极小化方法 51
3.4.1 与线性方程组等价的极值问题 51
3.4.2 沿已知方向求函数的极小值 52
3.4.3 最速下降法 52
3.4.4 共轭斜向法 53
习题3 55
第4章 方阵特征值和特征向量计算 57
4.1 乘幂法和反幂法 57
4.1.1 乘幂法 57
4.1.2 乘幂法的其他复杂情况 59
4.1.3 反幂法 59
4.1.4 原点平移加速技术 61
4.1.5 求已知特征值的特征向量 61
4.2 Jacobi方法 63
4.2.1 平面旋转矩阵 63
4.2.2 古典Jacobi方法 65
4.2.3 过关Jacobi方法 66
4.3 QR方法 67
4.3.1 Householder变换 67
4.3.2 矩阵的正交三角分解 68
4.3.3 基本QR方法 69
习题4 70
第5章 非线性方程求根 72
5.1 二分法 72
5.2 迭代法 74
5.2.1 迭代法的一般形式 74
5.2.2 迭代法的收敛性 75
5.2.3 迭代法收敛速度 76
5.3 Newton迭代法与割线法 77
5.3.1 Newton迭代法 77
5.3.2 割线法 81
5.4 非线性方程组的求根 82
5.4.1 不动点迭代法 83
5.4.2 Newton法 85
5.4.3 Newton法的一些改进方案 86
习题5 87
第6章 插值法 89
6.1 Lagrange插值 90
6.1.1 线性插值 90
6.1.2 二次插值 91
6.1.3 n次插值 92
6.1.4 插值余项 93
6.2 Newton插值法 94
6.2.1 差商 94
6.2.2 Newton插值多项式 95
6.3 差分插值 98
6.3.1 差分的概念 98
6.3.2 差分的性质 98
6.3.3 常用差分插值多项式 99
6.4 Hermite插值 101
6.4.1 带一阶导数的Hermite插值 101
6.4.2 两种常用的三次Hermite插值 103
6.5 分段插值 105
6.5.1 Runge振荡现象 105
6.5.2 分段线性插值 106
6.5.3 分段三次Hermite插值 107
6.6 样条插值 108
6.6.1 样条插值的基本概念 108
6.6.2 三转角插值法 109
习题6 112
第7章 最佳平方逼近与数据拟合 114
7.1 逼近的概念 114
7.2 最佳平方逼近 114
7.2.1 函数的最佳平方逼近 114
7.2.2 最佳平方逼近多项式 115
7.3 数据拟合 119
7.3.1 最小二乘函数拟合 120
7.3.2 多项式拟合 121
7.3.3 用正交多项式作曲线拟合 125
习题7 127
第8章 数值积分与数值微分 130
8.1 求积公式 130
8.1.1 问题的提出 130
8.1.2 数值积分的基本思想 130
8.1.3 代数精度 131
8.1.4 插值型求积公式 131
8.2 Newton-Cotes公式 132
8.2.1 Newton-Cotes公式介绍 132
8.2.2 常见的Newton-Cotes公式 133
8.3 复化求积公式 135
8.3.1 复化梯形公式 135
8.3.2 复化Simpson公式 136
8.3.3 复化Cotes公式 137
8.3.4 变步长方法 138
8.4 Romberg求积公式 139
8.4.1 Richardson外推法 139
8.4.2 Romberg积分法 140
8.5 Gauss求积公式 142
8.5.1 Gauss求积公式及其性质 142
8.5.2 常见的Gauss型求积公式 144
8.5.3 复化Gauss型求积公式 149
8.6 数值微分 150
8.6.1 数据的数值微分 150
8.6.2 函数的数值微分 151
习题8 152
第9章 常微分方程的数值解法 154
9.1 引言 154
9.2 Euler方法 155
9.2.1 Euler方法的推导 155
9.2.2 几何意义 156
9.2.3 Euler方法的改进 156
9.3 Runge-Kutta方法 159
9.3.1 R-K方法的构造 159
9.3.2 四阶经典R-K公式 160
9.3.3 步长的选取 162
9.4 线性多步法 163
9.4.1 线性多步法的一般形式 163
9.4.2 利用数值积分构造线性多步法 166
9.5 高阶的预测-校正公式 167
9.5.1 四阶Adams预测-校正公式 167
9.5.2 局部截断误差估计和修正 168
9.5.3 修正的Adams预测-校正法 169
9.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程 170
9.6.1 一阶常微分方程组 170
9.6.2 高阶常微分方程 170
9.7 收敛性与稳定性 171
9.7.1 收敛性 171
9.7.2 稳定性 172
习题9 173
第10章 Matlab软件与数值计算 175
10.1 矩阵与数组 175
10.2 函数运算和作图 178
10.2.1 基本初等函数 178
10.2.2 多项式函数 178
10.2.3 矩阵函数 179
10.2.4 绘图命令 183
10.2.5 Matlab编程 186
10.3 线性方程组的数值解 189
10.3.1 直接法 189
10.3.2 迭代法 190
10.3.3 迭代法收敛理论 194
10.3.4 SOR法的松弛因子 196
10.3.5 病态方程组和条件数 198
10.4 方阵的特征值和特征向量 198
10.4.1 乘幂法 198
10.4.2 古典Jacobi旋转法 200
10.4.3 基本QR算法 201
10.4.4 Matlab中求特征值和特征向量的命令 203
10.5 方程和方程组求根 204
10.5.1 二分法 204
10.5.2 Newton法 205
10.5.3 Matlab关于方程（组）求根的命令 206
10.6 插值方法 208
10.6.1 Lagrange插值 208
10.6.2 Newton插值 208
10.6.3 用拟合函数polyfit作插值 209
10.6.4 Matlab中的插值命令 210
10.7 数据拟合与函数逼近 211
10.7.1 多项式数据拟合 211
10.7.2 非线性拟合 213
10.7.3 最佳平方逼近 214
10.8 数值积分 216
10.8.1 非复化的数值积分 216
10.8.2 复化数值积分计算 217
10.8.3 Romberg积分计算 219
10.8.4 Matlab中的积分公式 220
10.9 常微分方程初值问题数值解 221
10.9.1 单步法 221
10.9.2 线性多步法 224
10.9.3 预测-校正法 227
10.9.4 Matlab中求解常微分方程初值问题数值解的命令 228
习题参考答案或提示 230
参考文献 238