1绪论 1
1.1数值分析的对象和特点 1
1.2误差的基本概念 1
1.2.1误差的来源 1
1.2.2绝对误差 2
1.2.3相对误差 2
1.2.4有效数 3
1.2.5数据误差对函数值的影响 4
1.3机器数系 7
1.3.1机器数系 7
1.3.2机器数系的运算及误差估计 8
1.4数值稳定问题 12
1.4.1数值稳定性 12
1.4.2良态问题与病态问题 15
1.4.3简化计算步骤，减少运算次数 17
习题1 18
2非线性方程的解法 21
2.1概述 21
2.1.1根的搜索 21
2.1.2二分法 22
2.2简单迭代法 24
2.2.1迭代格式的构造 24
2.2.2迭代法的收敛性 25
2.2.3迭代法的收敛速度 30
2.2.4 Aitken加速法 32
2.3 Newton法 35
2.3.1 Newton迭代格式及其几何意义 35
2.3.2局部收敛 36
2.3.3求重根的修正Newton法 37
2.3.4大范围收敛 39
2.3.5 Newton法的变形 42
2.4多项式方程的求根 43
2.4.1实系数多项式零点的分布 43
2.4.2劈因子法 47
2.5应用实例：薄壳结构的静力计算 50
2.5.1问题的背景 50
2.5.2数学模型 51
2.5.3计算方法与结果分析 52
习题2 54
3线性代数方程组数值解法 57
3.1引言 57
3.2消去法 58
3.2.1三角方程组的解法 58
3.2.2 Gauss消去法 59
3.2.3追赶法 64
3.2.4列主元Gauss消去法 65
3.3矩阵的直接分解法 67
3.3.1矩阵的直接分解法 67
3.3.2对称矩阵的直接分解法 72
3.3.3列主元的三角分解法 75
3.4方程组的性态与误差分析 77
3.4.1向量范数 78
3.4.2矩阵范数 80
3.4.3方程组的性态及条件数 89
3.4.4方程组近似解可靠性的判别 92
3.5迭代法 94
3.5.1迭代格式的一般形式 94
3.5.2几个常用的迭代格式 94
3.5.3迭代格式的收敛性 98
3.6幂法及反幂法 106
3.6.1求主特征值的幂法 106
3.6.2反幂法 113
3.7应用实例：纯电阻型立体电路分析 115
3.7.1问题的背景 115
3.7.2数学模型 116
3.7.3计算方法与结果分析 117
习题3 120
4多项式插值与函数最佳逼近 128
4.1 Lagrange插值 128
4.1.1基本插值多项式 129
4.1.2 Lagrange插值多项式 130
4.1.3插值余项 132
4.2差商、差分和Newton插值 134
4.2.1差商及Newton插值多项式 136
4.2.2差分及等距节点Newton插值多项式 140
4.3 Hermite插值 142
4.4高次插值的缺点及分段插值 148
4.4.1高次插值的误差分析 148
4.4.2分段线性插值 151
4.4.3分段Hermite插值 152
4.5 3次样条插值 153
4.5.1 3次样条插值函数 154
4.5.2 3次样条插值函数的求法 155
4.5.3 3次样条插值函数的收敛性 159
4.6有理函数插值 162
4.7最佳一致逼近 168
4.7.1线性赋范空间 168
4.7.2最佳一致逼近多项式 170
4.7.3 Chebyshev多项式 174
4.7.4近似最佳一致逼近多项式 177
4.8最佳平方逼近 179
4.8.1内积空间 179
4.8.2最佳平方逼近 181
4.8.3连续函数的最佳平方逼近 183
4.8.4超定线性方程组的最小二乘解 185
4.8.5离散数据的最佳平方逼近 187
4.9应用实例：用样条函数设计公路平面曲线 189
4.9.1问题的背景 189
4.9.2数学模型 189
4.9.3计算方法与结果分析 190
习题4 192
5数值积分与数值微分 197
5.1数值积分的基本概念 197
5.2插值型求积公式 198
5.2.1插值型求积公式 198
5.2.2代数精度 201
5.2.3梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截断误差 204
5.2.4求积公式的稳定性 206
5.3复化求积公式 206
5.3.1复化梯形公式 207
5.3.2复化Simpson公式 210
5.3.3复化Cotes公式 212
5.3.4复化求积公式的阶 213
5.4 Romberg求积法 214
5.4.1 Romberg求积公式 214
5.4.2 Romberg求积法的一般公式 217
5.5 Gauss求积公式 219
5.5.1 Gauss求积公式 220
5.5.2正交多项式 223
5.5.3区间[—1，1]上的Gauss公式 225
5.5.4区间[a， b]上的Gauss公式 226
5.5.5 Gauss公式的截断误差 228
5.5.6 Gauss公式的稳定性和收敛性 229
5.5.7带权积分 231
5.6振荡函数的积分 233
5.7重积分的近似计算 238
5.8数值微分 244
5.8.1数值微分问题的提出 244
5.8.2插值型求导公式 245
5.8.3样条求导 249
5.9应用实例：混频器中变频损耗的数值计算 250
5.9.1问题的背景 250
5.9.2数学模型 251
5.9.3计算方法与结果分析 252
习题5 253
6常微分方程数值解法 257
6.1微分方程数值解法概述 257
6.1.1问题及基本假设 257
6.1.2离散化方法 258
6.2 Euler方法 258
6.2.1 Euler公式 258
6.2.2后退Euler公式 262
6.2.3梯形公式 263
6.2.4预测校正系统与改进Euler公式 263
6.2.5整体截断误差 265
6.3 Runge-Kutta方法 266
6.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想 266
6.3.2 2阶Runge-Kutta公式 268
6.3.3高阶Runge-Kutta公式 270
6.3.4隐式Runge-Kutta公式 273
6.4单步方法的收敛性和稳定性 273
6.4.1单步方法的收敛性 274
6.4.2单步方法的稳定性 276
6.4.3单步方法的自适应算法 277
6.4.4单步方法的加速 278
6.5线性多步法 279
6.5.1基于数值积分的构造方法 280
6.5.1.1 Adams显式公式 280
6.5.1.2 Adams隐式公式 282
6.5.1.3 Adams预测校正方法 284
6.5.1.4 Adams公式的加速 286
6.5.2基于Taylor展开的待定系数方法 286
6.5.3多步法的收敛性和稳定性 289
6.5.4绝对稳定性和绝对稳定域 290
6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程 292
6.6.1 1阶微分方程组 292
6.6.2高阶微分方程 293
6.6.3刚性问题 295
6.7边值问题的数值解法 297
6.7.1试射法 298
6.7.2差分法 300
6.8应用实例：磁流体发电通道的数值计算 302
6.8.1问题的背景 302
6.8.2数学模型 302
6.8.3计算方法与结果分析 304
习题6 305
7偏微分方程数值解法 308
7.1抛物型方程的差分解法 308
7.1.1网格剖分 309
7.1.2古典显格式 310
7.1.3古典隐格式 312
7.1.4 Crank-Nicolson格式 313
7.1.5 Richardson格式 316
7.2差分格式的稳定性和收敛性 321
7.2.1差分格式的稳定性 321
7.2.2差分格式的收敛性 328
7.3双曲型方程的差分解法 330
7.3.1显格式 331
7.3.2隐格式 333
7.4椭圆型方程的差分解法 336
7.4.1差分格式的建立 337
7.4.2差分格式解的存在唯一性及其收敛性 338
7.5应用实例：水污染方程的有限差分解法 343
7.5.1问题的背景 343
7.5.2数学模型 343
7.5.3计算方法与结果分析 344
习题7 345
习题参考答案 347
参考文献 400