第一章 微积分的基础知识——函数与极限 1
第一节 集合与函数 1
1.集合 1
2.函数的概念 3
3.映射 5
4.复合函数 6
5.反函数 7
6.函数的四则运算 9
7.基本初等函数与初等函数 10
8.曲线的极坐标方程 10
9.几种具有特殊性质的函数 12
习题1-1（A） 16
习题1-1（B） 18
第二节 极限（一） 18
1.极限的描述性定义 19
2.“函数值‘无限接近于’常数A”的描述——正数ε的引入 20
3.数列极限的定义 21
4.数列极限的性质 24
5.数列的子数列 26
6.数学建模的实例——生活中的数列及数列极限 27
习题1-2（A） 29
习题1-2（B） 29
第三节 极限（二） 30
1.当x无限增大（记作x→＋∞）时，函数f（x）以A为极限的定义 30
2.x无限趋近于x0（记作x→x0）时，函数f（x）以A为极限的定义 32
3.函数极限的性质 35
4.数学建模的实例——圆周率的计算 40
习题1-3（A） 42
习题1-3（B） 43
第四节 极限存在准则与两个重要极限 44
1.判定极限存在的准则1 44
2.判定极限存在的准则2 48
习题1-4（A） 50
习题1-4（B） 51
第五节 无穷小量与无穷大量 51
1.无穷小量 52
2.无穷大量 56
习题1-5（A） 60
习题1-5（B） 61
第六节 函数的连续性及间断点 62
1.函数的连续性 62
2.函数的间断点 64
习题1-6（A） 67
习题1-6（B） 67
第七节 连续函数的性质与初等函数的连续性 68
1.连续函数的运算性质 68
2.初等函数的连续性 72
3.闭区间上连续函数的分析性质 73
4.数学建模的实例——椅子模型 75
习题1-7（A） 76
习题1-7（B） 76
第八节 利用数学软件求极限 77
总习题一 79
第二章 一元函数微分学 82
第一节 函数的导数的概念 82
1.导数的概念 82
2.可导与连续之间的关系 89
3.原函数 90
习题2-1（A） 92
习题2-1（B） 93
第二节 函数的微分 93
1.微分的概念 93
2.可导与可微的关系 94
3.可微与连续的关系 97
4.微分的几何意义 97
习题2-2（A） 98
习题2-2（B） 98
第三节 函数的求导法则 99
1.函数四则运算的求导法则 99
2.反函数的求导法则 101
3.复合函数的导数 103
4.微分形式的不变性 106
5.常见初等函数的导数公式与微分公式 107
习题2-3（A） 108
习题2-3（B） 109
第四节 高阶导数 110
习题2-4（A） 112
习题2-4（B） 113
第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 113
1.隐函数的导数 114
2.由参数方程所确定的函数的导数 117
3.相关变化率 120
4.数学建模的实例——经济问题中的边际与弹性 122
习题2-5（A） 123
习题2-5（B） 124
第六节 利用数学软件求导数 125
总习题二 127
第三章 微分中值定理与导数的应用 131
第一节 微分中值定理 131
1.罗尔定理 131
2.拉格朗日中值定理 134
3.柯西中值定理 138
习题3-1（A） 140
习题3-1（B） 141
第二节 洛必达法则 142
1.0/0型不定式 142
2.∞/∞型不定式 145
3.其他类型的不定式 146
习题3-2（A） 148
习题3-2（B） 149
第三节 泰勒中值定理 150
1.泰勒多项式 150
2.泰勒中值定理 151
3.几个初等函数的麦克劳林公式 154
4.泰勒公式的应用举例 157
习题3-3（A） 159
习题3-3（B） 160
第四节 利用导数研究函数（一）——函数的单调性与极值 160
1.函数单调性的判别法 161
2.函数极值的求法 164
3.函数最值的求法 167
4.数学建模的实例——蜂巢的奇妙结构 170
习题3-4（A） 171
习题3-4（B） 172
第五节 利用导数研究函数（二）——曲线的凹凸性、渐近线及函数图形的描绘 173
1.曲线的凹凸性与拐点 174
2.函数图形的描绘 178
习题3-5（A） 180
习题3-5（B） 181
第六节 曲率 181
1.光滑曲线 181
2.曲率的概念 182
3.曲率的计算公式 184
4.曲率圆与曲率半径 186
习题3-6（A） 187
习题3-6（B） 187
总习题三 187
第四章 不定积分 191
第一节 不定积分的概念及其性质 191
1.不定积分 191
2.基本不定积分表 193
3.不定积分的性质 194
习题4-1（A） 196
习题4-1（B） 197
第二节 不定积分的换元积分法（一） 197
1.凑微分积分法 198
2.凑微分换元法应用举例 199
习题4-2（A） 206
习题4-2（B） 207
第三节 不定积分的换元积分法（二） 208
1.第二换元法 208
2.其他常见换元积分法举例 211
习题4-3（A） 214
习题4-3（B） 215
第四节 不定积分的分部积分法 215
习题4-4（A） 220
习题4-4（B） 221
总习题四 221
第五章 定积分及其应用 224
第一节 定积分的概念与性质 224
1.两个实例 224
2.定积分的定义 226
3.定积分存在的条件与几何意义 228
4.定积分的性质 230
习题5-1（A） 236
习题5-1（B） 237
第二节 微积分基本公式 237
1.积分上限的函数 238
2.牛顿-莱布尼茨公式 241
3.用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 242
习题5-2（A） 245
习题5-2（B） 246
第三节 定积分的换元法与分部积分法 246
1.定积分的换元积分法 247
2.定积分的分部积分法 253
习题5-3（A） 255
习题5-3（B） 257
第四节 反常积分 257
1.无穷（限）积分 258
2.瑕积分（无界函数的积分） 261
习题5-4（A） 264
习题5-4（B） 264
第五节 定积分的应用 265
1.微元法 265
2.平面图形面积的计算 267
3.定积分在几何学中的其他应用 270
4.定积分在物理学上的应用 279
5.数学建模的实例——不允许缺货的存储模型 282
习题5-5（A） 283
习题5-5（B） 284
第六节 利用软件求积分 285
总习题五 289
第六章 微分方程 294
第一节 微分方程的基本概念 294
1.几个微分方程的实例 294
2.微分方程的基本概念 295
习题6-1（A） 299
习题6-1（B） 299
第二节 一阶微分方程 300
1.可分离变量的方程 300
2.齐次方程 302
3.一阶线性微分方程 304
4.伯努利方程 309
5.其他可通过变量代换求解的微分方程举例 310
6.一阶微分方程的应用举例 310
7.数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型 314
习题6-2（A） 315
习题6-2（B） 316
第三节 可降阶的高阶微分方程 317
1.y(n）＝f（x）型 317
2.y"＝f（x，y'）型 318
3.y"＝f（y，y'）型 320
4.数学建模的实例——悬链线问题 322
习题6-3（A） 324
习题6-3（B） 324
第四节 高阶线性微分方程解的结构 325
1.n阶线性微分方程 325
2.高阶线性齐次方程的解的结构 325
3.线性非齐次方程的解的结构 328
习题6-4（A） 329
习题6-4（B） 329
第五节 高阶常系数线性齐次微分方程 330
1.二阶常系数线性齐次微分方程及其特征方程 330
2.二阶常系数线性齐次方程的通解 331
3.n阶常系数线性齐次方程的通解 333
习题6-5（A） 335
习题6-5（B） 336
第六节 高阶常系数线性非齐次方程 336
1.f（x）＝eλxpn（x），其中λ是常数，Pn（x）是n次多项式 336
2.f（x）＝eαx[P（x）cosβx＋Q（x）sinβx]，其中P（x），Q（x）为多项式，α，β为常数，且β≠0 340
习题6-6（A） 344
习题6-6（B） 344
第七节利用软件求解微分方程 345
总习题六 347
附录1常用初等数学公式 350
附录2几种常见的曲线 353
附录3 MATLAB软件简介 358
附录4习题参考答案与提示 364
参考书目 400