第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1
1.1 基本方程的建立 1
1.2 初始条件与边界条件 11
1.3 定解问题的提法 15
习题一 18
第二章 分离变量法 18
2.1 有界弦的自由振动 18
2.2 有限长杆上的热传导 26
2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 30
2.4 有界弦的强迫振动 33
2.5 非齐次边界条件的处理 36
习题二 46
第三章 行波法与积分变换法 46
3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 46
3.2 三维波动方程的泊松公式 50
3.2.1 球对称三维波动方程的通解 51
3.2.2 三维波动方程的泊松公式 51
3.2.3 泊松公式的物理意义 55
3.3 积分变换法举例 58
习题三 67
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 67
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 67
4.2 格林公式 69
4.3 格林函数 75
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 77
4.4.1 半空间的格林函数 78
4.4.2 球域的格林函数 79
习题四 83
第五章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程 83
5.1 贝塞尔方程的引出 83
5.2 勒让德方程的引出 85
5.3 施特姆-刘维尔理论简述 87
习题五 94
第六章 贝塞尔函数 94
6.1 贝塞尔方程的求解 94
6.2 当n为整数时贝塞尔方程的通解 97
6.3 贝塞尔函数的递推公式 99
6.4 贝塞尔函数的零点与模值 103
6.4.1 贝塞尔函数的零点 103
6.4.2 贝塞尔函数的模值 104
6.5 贝塞尔方程的边值问题 105
6.6 贝塞尔函数的其他类型 111
6.6.1 第三类贝塞尔函数 111
6.6.2 虚宗量的贝塞尔函数 112
6.6.3 开尔文函数 113
6.7 贝塞尔函数的渐近公式 114
习题六 118
第七章 勒让德多项式 118
7.1 勒让德方程的求解 118
7.2 勒让德多项式 120
7.3 函数展成勒让德多项式的级数 124
7.4 连带的勒让德多项式 130
第八章 数学物理方程的差分解法 134
8.1 将微分方程化成差分方程 134
8.2 拉普拉斯方程的差分格式 137
8.3 热传导方程的差分格式 143
8.4 波动方程的差分格式 146
习题八 149
附录A ？函数的基本知识 149
附录B 傅氏变换与拉氏变换简表 153
习题答案 156