第1章 小位移变形弹性理论基本方程 1
1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力 1
1.2 应变能和余能 2
1.2.1 应变能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移变形弹性理论基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力学方程） 3
1.3.2 应变位移方程（几何方程） 4
1.3.3 应力应变关系（物理方程或本构方程） 5
1.3.4 边界条件 10
1.4 散度定理（Divergence Theorem） 12
1.4.1 数学方面 12
1.4.2 力学方面 12
1.5 虚功原理 13
1.5.1 虚位移原理 13
1.5.2 虚应力原理（虚余功原理） 14
1.6 小结 15
参考文献 16
第2章 小位移变形弹性理论经典变分原理 18
2.1 从经典变分原理的约束条件出发弹性理论基本方程分类 18
2.2 小位移变形弹性理论最小势能（位能）原理 19
2.2.1 最小势能原理泛函的建立 19
2.2.2 最小势能原理及泛函约束条件 20
2.2.3 证明 20
2.3 最小势（位）能原理的另一种表达式 24
2.4 最小余能原理 25
2.4.1 最小余能原理泛函的建立 25
2.4.2 最小余能原理及泛函约束条件 26
2.4.3 证明 26
2.5 弹性理论变分原理与数学变分命题 29
2.5.1 数学变分问题 29
2.5.2 弹性理论的变分问题 30
2.6 小结 30
参考文献 31
第3章 小位移变形弹性理论广义变分原理 33
3.1 函数的条件极值拉格朗日乘子法（Lagrange's Method of Multipliers） 33
3.1.1 一个约束条件下函数的极值 33
3.1.2 两个约束条件下函数的驻值 38
3.1.3 待定拉格朗日乘子法及已识别的拉格朗日乘子法 39
3.2 罚函数法 40
3.3 小位移变形弹性理论广义变分原理 42
3.4 Hellinger-Reissner变分原理 43
3.4.1 Hellinger Reissne变分原理泛函ПHR（σ，u）的建立 43
3.4.2 关于这个变分原理需注意的事项 46
3.5 ε、u双变量广义变分原理 47
3.5.1 ε、u双变量广义变分原理泛函ПP2（ε，u）的建立 47
3.5.2 对这个变分原理的分析 49
3.6 ПHR与ПP2两种广义变分原理泛函之间的关系 50
3.7 Hu-Washizu（胡海昌-鹫津久一郎）广义变分原理 51
3.7.1 Hu-Washizu变分原理泛函ПHW（σ，ε，u）的建立 51
3.7.2 对于Hu-Washizu广义变分原理的分析 52
3.8 弹性理论常规变分原理之间的关系 54
3.9 建立广义变分原理的另外途径——罚函数法 56
3.10 弹性理论变分原理的等价性 56
3.10.1 弹性理论变分原理的等价性 56
3.10.2 等价变分原理的导出 57
3.11 具有参数的广义变分原理 59
3.11.1 多参数广义变分原理 59
3.11.2 参数化的多场变量变分原理 62
3.12 小结 66
参考文献 68
第4章 根据最小势能原理建立的有限元 70
4.1 协调的假定位移有限元 70
4.1.1 变分原理 70
4.1.2 单元列式 71
4.1.3 数值算例 74
4.2 有限元收敛准则 几何各向同性 84
4.2.1 有限元单调收敛准则 84
4.2.2 非协调元的收敛条件 91
4.2.3 几何各向同性 92
4.3 协调位移元应变能的特点 93
4.4 早期位移元遇到的困难 锁住现象（Locking Phenomena） 94
4.4.1 体积锁住（Dilatation Locking） 95
4.4.2 剪切锁住（Shear Locking） 101
4.4.3 薄膜锁住（Membrane Locking） 107
4.4.4 位移元锁住现象小结 108
4.4.5 位移元的不足之处 108
4.5 由ПP（uq,uλ）建立的Wilson非协调位移元 108
4.5.1 用低阶位移元解弯曲问题误差产生的原因 109
4.5.2 Wilson元的协调性 110
4.5.3 Wilson元的有限元列式 111
4.5.4 Wilson元是否通过分片试验 112
4.5.5 改进的Wilson元的数值算例 117
4.5.6 一个单元试验（Single-Element Test，或SET）及单独单元试验（Individual Element Test或IET） 118
4.5.7 对于分片试验的不同学术见解 119
4.6 平面理性非协调元 120
4.6.1 平面5结点理性元 120
4.6.2 平面4结点理性元 125
4.6.3 数值算例 125
4.7 根据最小势能原理建立的具有转动自由度的位移元 128
4.7.1 Allman 3结点三角形元 128
4.7.2 带转动自由度的4结点位移元 133
4.7.3 具有转动自由度的六面体位移元 137
4.8 拟协调元 143
4.8.1 单元列式 143
4.8.2 算例 144
4.9 小结 154
参考文献 156
第5章 根据修正的势能原理建立的有限元 161
5.1 修正的势能原理ПmP1（u,T） 混合元 161
5.1.1 修正的势能原理ПmP1（u,T） 162
5.1.2 有限元列式 164
5.1.3 ПmP1（u,T）的应用实例 165
5.2 修正的势能原理ПmP2（T,u,？） 杂交位移元Ⅰ 167
5.2.1 修正的势能原理ПmP2（T,u,？） 167
5.2.2 有限元列式 170
5.2.3 用杂交位移元分析平面线性断裂力学问题——裂纹元Ⅰ 171
5.3 广义协调等参元 175
5.3.1 广义协调元 常应力和线性应力下的广义协调条件 175
5.3.2 四边形广义协调等参元 177
5.4 具有转动自由度的四边形广义协调元 180
5.5 弹性薄板的修正势能原理ПmP2 187
5.6 应用修正势能原理建立的薄板广义协调元 191
5.6.1 变分原理 191
5.6.2 薄板广义协调元的建立的基本思路 193
5.6.3 薄板广义协调元Ⅰ 194
5.6.4 薄板广义协调元Ⅱ 198
5.6.5 薄板广义协调元Ⅲ 201
5.7 修正的势能原理ПmP3（u,？） 杂交位移元Ⅱ 203
5.7.1 变分泛函ПmP3（u,？） 203
5.7.2 有限元列式 203
5.8 小结 204
参考文献 206
第6章 根据余能原理及修正的余能原理建立的有限元模式（一） 211
6.1 平衡元Ⅰ 211
6.1.1 最小余能原理 211
6.1.2 有限元列式 213
6.2 修正的余能原理Пmc1及Пmc2 214
6.3 薄板的余能原理及修正的余能原理 216
6.3.1 薄板余能原理 216
6.3.2 薄板的修正余能原理Пmc 219
6.4 平衡元Ⅱ 222
6.4.1 Loof元及Semi-Loof元 222
6.4.2 基于Loof元（或Semi-Loof元）的平衡元Ⅱ 223
6.4.3 平衡元Ⅱ的有限元列式 227
6.4.4 平衡元Ⅱ举例 228
6.4.5 平衡元Ⅱ的特点 230
6.5 弹性理论分区广义变分原理 232
6.5.1 分区三变量广义混合变分原理 232
6.5.2 多分区的广义变分原理 235
6.6 分区有限元方法解断裂力学问题 236
6.6.1 用分区有限元方法计算混合型应力强度因子 236
6.6.2 用分区有限元方法计算两种材料V型切口的应力强度因子 240
6.6.3 小结 243
6.7 早期杂交应元Ⅰ 243
6.7.1 早期杂交应力元Ⅰ的变分原理及有限元列式 243
6.7.2 算例 245
6.7.3 几点说明 253
6.8 杂交应力元Ⅰ的特点 258
6.9 小结 263
参考文献 264
第7章 根据修正的余能原理建立的有限元模式Ⅰ的应用 268
7.1 利用杂交应力模式Ⅰ建立的裂纹元Ⅱ 268
7.1.1 裂纹元Ⅱ的单元列式 268
7.1.2 对裂纹元Ⅱ列式的几点说明 269
7.1.3 二维断裂问题数值算例 271
7.1.4 三维断裂数值算例 272
7.1.5 杂交应力裂纹元讨论 276
7.2 轴对称实体回转元 276
7.2.1 单元假定应力场 276
7.2.2 单元边界位移及单元刚度矩阵 281
7.2.3 数值算例 282
7.2.4 小结 286
7.3 杂交应力层合板元 286
7.3.1 扩展的修正余能原理 286
7.3.2 层合材料的有限元列式 287
7.3.3 四边形层合板元 289
7.3.4 数值算例 292
7.4 分析具有无外力圆柱形槽孔三维应力分布的特殊杂交应力层合元 295
7.4.1 单元假定应力场 296
7.4.2 单元边界位移场 299
7.4.3 数值算例 300
7.5 具有一个无外力直表面的层合元 304
7.5.1 每层具有8结点及一个无外力直表面的层合元 304
7.5.2 每层具有12结点及一个无个力直表面层合元 305
7.6 联合具有一个无外力圆柱表面及具有一个无外力直表面两种层合杂交应力元，求解具有槽孔层合板问题 311
7.6.1 具有倒圆角方孔的四层层合板 312
7.6.2 具有倒圆角矩形孔的四层层合板 315
7.6.3 具有单侧U型槽孔层合板 317
7.7 利用杂交应力元分析自由振动问题 320
7.7.1 弹性体自由振动基本方程 320
7.7.2 弹性体自由振动的变分原理及广义变分原理 320
7.7.3 有限元列式 324
7.7.4 数值算例 326
7.8 小结 325
参考文献 327
第8章 修正的余能原理建立的杂交应力有限元模式（二） 331
8.1 修正的余能原理П＊ mc（u，？）及早期杂交应力模式Ⅱ 331
8.1.1 修正的余能原理П＊ mc（u，？） 331
8.1.2 有限元列式 332
8.1.3 早期杂交应力模式Ⅱ［П＊ mc（u，？）或П＊ mc（σ＊，？）］中应力场σ＊的选择 333
8.2 利用早期杂交应力模式Ⅱ建立的平面裂纹元Ⅲ 334
8.2.1 弹性理论平面问题复变函解的基本方程 335
8.2.2 平面杂交裂纹元Ⅲ的建立 340
8.3 三维杂交应力（或杂交位移）裂纹元Ⅲ 344
8.3.1 具有半无限平面裂纹弹性体的位移及应力三维解 345
8.3.2 选择单元场变量u及？ 348
8.3.3 导出单元刚度矩阵 349
8.3.4 数值算例 349
8.4 三种杂交裂纹元小结 351
8.4.1 三种杂交裂纹元的基本实施方案及所依据的变分原理 351
8.4.2 三种裂纹元的数值算例比较 352
8.4.3 诸多学者对于三类杂交裂纹元的研究 353
8.5 具有随机分布增强相非匀质材料的有限元分析 353
8.5.1 Accorsi及Chamarajanagar的变换应变（Transformation Strain）法 354
8.5.2 应用杂交应力模式Ⅰ分析随机分布增强相非匀质材料 358
8.5.3 应用杂交应力模式Ⅱ分析具有随机分布增强相的非匀质材料问题 361
8.6 杂交-Trefftz有限元 371
8.6.1 变分泛函 371
8.6.2 有限元列式 377
8.6.3 薄板弯曲单元及数值算例 379
8.7 修正的余能原理П＊ ＊ mc（σ，u，？）及杂交应力元 385
8.7.1 变分原理 385
8.7.2 有限元列式 385
8.8 小结 386
参考文献 388
第9章 根据Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式（一） 393
9.1 由Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式 393
9.1.1 变分泛函 393
9.1.2 有限元列式 394
9.1.3 几点注意事项 396
9.2 早期杂交应力元小结 398
9.2.1 三种早期杂交应力元 398
9.2.2 假定应力杂交模式小结 399
9.3 扫除附加的运动变形模式（扫除多余的零能模式） 399
9.3.1 附加运动变形模式 399
9.3.2 扫除附加运动变形模式 400
9.3.3 选择单元应力场以扫除零能模式的具体方法及实例 402
9.3.4 对单元稳定所需最小应力参数［式（9.3.1）］的意见 407
9.4 具有一个无外力圆柱表面的三维杂交应力元及具有圆弧形槽孔构件的受力分析 407
9.4.1 单元假定应力场的类型 408
9.4.2 单元假定应力场 410
9.4.3 三种类型应力场数值比较 413
9.5 具有一个无外力直表面的三维杂交应力元及一系列槽孔板的受力分析 418
9.5.1 具有一个无外力直表面杂交应力元 418
9.5.2 算例 419
9.6 具有结点转动自由度的特殊杂交应力元 429
9.6.1 单元的建立 429
9.6.2 算例 429
9.6.3 小结 431
9.7 由Hellinger-Reissner原理建立的另一种有限元模式 431
9.7.1 传统列式方法 431
9.7.2 新的列式方法 433
9.7.3 数值算例 435
9.8 利用Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的杂交元及解除锁住现象 435
9.8.1 解除体积锁住 436
9.8.2 解除剪切锁住 440
9.8.3 解除薄膜锁住 444
9.8.4 锁住问题小结 448
9.9 小结 449
参考文献 452
第10章 根据Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式（二） 456
10.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR1（σ，u）及П1 mR1（σ，u）混合元模式 456
10.1.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR1及所建立的混合元Ⅰa 456
10.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理П1 mR1及所建立的混合元Ⅰb 460
10.1.3 算例 461
10.2 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR2（u，？，σ，T） 463
10.3 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR3（u，？，σ）及П1 mR3（u，？，σ）所建立的杂交应力元 465
10.3.1 变分公式 465
10.3.2 有限元列式 466
10.3.3 应用实例 467
10.3.4 用ПmR3（或П1 mR3）进行有限元列式时的三种特殊情况 469
10.3.5 利用正交插值函数进行有限元列式 471
10.4 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR4（σ，uq，uλ，？）及ПmR（σ，uq，uλ） 472
10.4.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR4（σ，uq，λ，？） 472
10.4.2 修正的Hellinger-Reisner原理ПmR（σ，uq，uλ）及所建立的杂交应力元 473
10.5 非协调杂交应力元的理性列式（Ⅰ）——平衡法 479
10.5.1 非协调杂交应力元理性列式方法（Ⅰ）——平衡法 479
10.5.2 非协调杂交应力元理性列式（Ⅰ）——平衡法实例 481
10.5.3 小结 496
10.6 修正的理性平衡列式方法 497
10.6.1 修正方法 497
10.6.2 修正平衡法实例 498
10.7 修正的理性平衡列式法建立三维特殊层合元 505
10.7.1 层合材料的修正Hellinger-Reissner原理 505
10.7.2 层合元单刚建立 508
10.7.3 建立层合板元——元SLR10 509
10.7.4 数值算例 512
10.7.5 小结 516
10.8 非协调杂交应力元的理性列式（Ⅱ）——表面虚功法 516
10.8.1 约束方程及单刚的建立 516
10.8.2 对非协调杂交应力元理性列式的说明 518
10.8.3 非协调杂交应力元理性列式（Ⅱ）——表面虚功法实例 519
10.9 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ）——正交法 526
10.9.1 非协调位移元与杂交应力元的对应性 526
10.9.2 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ）——正交法 527
10.9.3 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ） 一正交法实例 528
10.10 通过应力张量转换方法建立几何形状歪斜单元的应力场 530
10.10.1 建立四结点一般四边形平面元的应力场 530
10.10.2 建立三维8结点一般六面体元的应力场 531
10.10.3 具有一个无外力斜边，且外边界上2个结点含有转动自由度的4结点杂交应力元——元SDR4Ⅱ 533
10.11 利用斜坐标建立平面四边形杂交应力元 538
10.11.1 4结点四边形平面元 538
10.11.2 数值算例 542
10.12 基于ПmR根据变分-渐近法建立的杂交元层合板自由直边应力分析 545
10.12.1 边界层问题 545
10.12.2 有限元列式 546
10.12.3 数值算例 548
10.13 小结 549
参考文献 552
第11章 根据修正的Hellinger-Reissner原理及具有一个参数的广义变分原理建立的有限元模式（三） 557
11.1 根据修正的Hellinger-Reissner原理建立的具有转动自由度的杂交应力元 557
11.1.1 第一类4结点膜元 557
11.1.2 第二类4结点膜元——元O7β 562
11.1.3 第三类4结点膜元及六面体元——元MAQ及AH 563
11.2 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR（u，ε，T）及所建立的混合元Ⅱ——假定自然应变（Assumed Natural Strain,ANS）列式和假定自然偏应变（Assumed Natural Deviatoric Strain,ANDES）列式 565
11.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR5（u，ε，T） 565
11.2.2 有限元列式 567
11.2.3 数值算例 569
11.2.4 小结 570
11.3 非协调位移元基于ПP的正交条件列式及有限元自由列式（Free Formulation,EF列式） 572
11.3.1 单独-单元试验 572
11.3.2 正交列式基本方程 574
11.3.3 根据势能原理基于正交条件进行有限元列式 574
11.3.4 有限元自由列式及单刚计算 576
11.3.5 有限元修正的自由列式 578
11.4 具有一个参数的广义变分原理及其有限元列式自由列式所依据的泛函 580
11.4.1 一个参数的广义变分原理（Parametrized Multifield Variational Principle） 580
11.4.2 有限元列式 582
11.4.3 运动约束 585
11.4.4 利用一个参数的广义变分原理进行有限元自由列式 587
11.4.5 小结 590
11.5 由自由列式（FF）及扩展的自由列式（EFF）建立具有转动自由度的有限元 591
11.5.1 根据自由列式（FF）建立具有转动自由度的三角形膜元 591
11.5.2 根据扩展自由度（EFF）建立的具有转动自由度三角形膜元 596
11.5.3 数值算例 599
11.6 多场变量有限元的容许矩阵列式（Admissible Matrix Formulation） 601
11.6.1 能量泛函及单元列式 601
11.6.2 分析单元通过单元分片试验（Single Element Patch Test）的内部原因 602
11.6.3 正交法及容许矩阵列式 602
11.6.4 建立低阶高效元 604
11.7 小结 609
参考文献 611
第12章 根据胡-鹫津（Hu-Washizu）原理所建立的有限元模式 616
12.1 根据Hu-Washizu原理ПHW（σ，ε，u）建立的精化杂交应力元（Refined Hybrid Stress Elements） 616
12.1.1 Hu-Washizu原理ПHW 616
12.1.2 精确杂交应力元 616
12.1.3 改善的精化杂交应力元 633
12.1.4 小结 640
12.2 根据Hu-Washizu原理、γ-投影及正交内插所建立的有限元 641
12.2.1 有限元列式 641
12.2.2 4结点四边形平面元——QBI元 642
12.2.3 扩展的四边形平面元 649
12.3 根据Hu-Washizu原理用一组综合方法处理内部约束所建立的单元 653
12.3.1 有限元列式 653
12.3.2 4结点四边形平面元 655
12.4 根据Hu-Washizu原理及增强应变（EAS）方法所建立的有限元 662
12.4.1 有限元列式 662
12.4.2 二维4结点EAS元 663
12.4.3 几种三维8结点EAS元 667
12.5 根据Hu-Washizu原理及扩展的增强应变方法所建立的有限元 671
12.5.1 有限元列式 671
12.5.2 四结点4边形元 673
12.5.3 八结点三维元 681
12.5.4 小结 687
12.6 小结 688
参考文献 690
第13章 根据修正的Hu-Washizu原理建立的有限元模式 695
13.1 修正的Hu-Washizu原理П1 MHW 695
13.2 根据修正的Hu-Washizu原理П1 MHW所建立的广义杂交应力元模式Ⅰ 697
13.2.1 有限元列式Ⅰ 697
13.2.2 各种杂交模式与现在广义杂交应力模式的关系 699
13.2.3 根据修正的Hu-Washizu原理П1 MHW建立的有限元模式Ⅱ——拟协调元 701
13.3 利用另一种修正的Hu-Washizu原理П2 MHW建立的杂交应力有限元 702
13.3.1 单元列式 702
13.3.2 精化直接刚度法的求解步骤 704
13.3.3 精化九参数三角形薄板元 705
13.3.4 精化的非协调平面四边元 714
13.4 根据修正的Hu-Washizu原理所建立的杂交应力元 717
13.4.1 变分原理 717
13.4.2 有限元列式 718
13.4.3 四边形中厚板弯曲单元 719
13.4.4 数值算例 721
13.5 小结 723
参考文献 725
第14章 根据更一般形式的广义变分原理所建立的有限元模式 728
14.1 更一般形式的广义变分原理 728
14.1.1 用拉格朗日乘子法在Hu-Washizu原理中解除应力应变关系约束的失败 728
14.1.2 高阶拉格朗日乘子法，更一般形式的广义变分原理 729
14.2 用更一般形式广义变分原理所建立的一种广义杂交应力元（Ⅰ） 731
14.2.1 修正的更一般形式广义变分原理 731
14.2.2 有限元列式 734
14.2.3 平面四结点广义杂交应力元 736
14.2.4 三维8结点广义杂交应力元 739
14.3 根据更一般形式的广义变分原理所建立的轴对称广义杂交应力元 743
14.3.1 变分原理 743
14.3.2 有限元列式 745
14.3.3 建立四结点4边形轴对称广义杂交应力元 746
14.3.4 数值算例 748
14.4 根据参数化变分原理建立高性能有限元 751
14.4.1 参数化的多场变量变分原理 752
14.4.2 有限元列式 754
14.4.3 运动约束（单独——单元试验应满足的条件） 757
14.4.4 可视刚度方程 758
14.5 小结 759
参考文献 760
总结 763
索引（一） 764
索引（二） 765