第1篇 复变函数 1
第1章 复数与复变函数 1
本章学习目标 1
1.1 复数及其运算 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的表示 2
1.1.3 复数的运算 5
1.1.4 复数的乘方与方根 6
1.2 平面点集与区域 8
1.2.1 复平面上的点集与区域 8
1.2.2 单连通域与多（复）连通域 10
1.3 复变函数 11
1.3.1 复变函数的概念 11
1.3.2 映射的概念 12
1.3.3 反函数与复合函数 13
1.4 复变函数的极限与连续性 14
1.4.1 复变函数的极限 14
1.4.2 复变函数的连续 15
本章小结 16
习题一 17
自测题一 18
第2章 解析函数 20
本章学习目标 20
2.1 复变函数的导数与微分 20
2.1.1 复变函数的导数 20
2.1.2 复变函数的微分 23
2.2 解析函数 24
2.2.1 解析函数的概念及其运算 24
2.2.2 柯西—黎曼条件 25
2.2.3 函数解析的充要条件 26
2.3 调和函数 28
2.3.1 调和函数 28
2.3.2 解析函数与调和函数的关系 28
2.4 初等函数及其解析性 30
2.4.1 指数函数 30
2.4.2 对数函数 31
2.4.3 幂函数 32
2.4.4 三角函数 33
2.4.5 反三角函数 35
2.4.6 双曲函数与反双曲函数 35
本章小结 36
习题二 38
自测题二 39
第3章 复变函数的积分 40
本章学习目标 40
3.1 复变函数的积分 40
3.1.1 复变函数积分的概念 40
3.1.2 积分的存在性及其计算方法 41
3.1.3 积分的性质 43
3.2 积分基本定理 45
3.2.1 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 45
3.2.2 原函数与不定积分 45
3.2.3 基本定理的推广——复合闭路定理 47
3.3 柯西积分公式 48
3.4 解析函数的高阶导数 50
本章小结 51
习题三 52
自测题三 53
第4章 级数 55
本章学习目标 55
4.1 复数项级数与复函数项级数 55
4.1.1 复数项级数的概念 55
4.1.2 复数项级数的性质 56
4.1.3 复函数项级数 56
4.2 幂级数 57
4.2.1 幂级数的概念 57
4.2.2 收敛圆与收敛半径 57
4.2.3 幂级数在其收敛圆内的性质 59
4.3 泰勒级数 59
4.3.1 解析函数的泰勒展开式 59
4.3.2 初等函数的泰勒展开式 60
4.4 罗伦级数 61
4.5 孤立奇点 64
4.5.1 孤立奇点的概念及其分类 64
4.5.2 函数的零点与极点的关系 66
本章小结 67
习题四 68
自测题四 68
第5章 留数 70
本章学习目标 70
5.1 留数的概念及基本定理 70
5.1.1 留数的概念 70
5.1.2 留数定理 71
5.1.3 在无穷远点的留数 75
5.2 留数在定积分计算中的应用 76
本章小结 78
习题五 79
自测题五 79
第2篇 积分变换 81
第6章 傅立叶变换 81
本章学习目标 81
6.1 傅立叶积分 82
6.1.1 主值意义下的广义积分 82
6.1.2 傅氏积分存在定理 83
6.2 傅立叶变换 84
6.2.1 傅立叶变换的概念 84
6.2.2 傅氏变换的物理意义——频谱 87
6.3 δ函数及其傅立叶变换 89
6.3.1 δ函数的定义 90
6.3.2 δ函数的性质 92
6.3.3 δ函数的傅立叶变换 93
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 94
6.4 傅立叶变换的性质 96
6.4.1 线性性质 96
6.4.2 对称性质 97
6.4.3 相似性质 98
6.4.4 平移性质 98
6.4.5 微分性质 102
6.4.6 积分性质 103
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 103
本章小结 105
习题六 107
自测题六 109
第7章 拉普拉斯变换 110
本章学习目标 110
7.1 拉普拉斯变换 110
7.1.1 拉普拉斯变换的概念 110
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 111
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 111
7.1.4 拉普拉斯变换的下限问题 113
7.1.5 周期函数的拉普拉斯变换 114
7.2 拉普拉斯变换的基本性质 115
7.2.1 线性性质 115
7.2.2 相似性质 116
7.2.3 平移性质 117
7.2.4 微分性质 120
7.2.5 积分性质 121
7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 123
7.3 拉普拉斯逆变换 124
7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 125
7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 127
7.4 拉普拉斯变换的应用 128
7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 128
7.4.2 线性系统的传递函数 130
本章小结 132
习题七 133
自测题七 137
附录1 习题与自测题参考答案或提示 139
附录2 变换简表 150
参考文献 160