第一章 一阶微分方程的初等积分法 1
1.1 微分方程及其解 1
1.1.1 什么叫做微分方程 1
1.1.2 什么叫做微分方程的解 7
1.1.3 微分方程解的实际意义 11
1.1.4 微分方程解的几何意义 16
1.2 可分离变量方程 18
1.3 可化为可分离变量方程的方程 23
1.3.1 齐次方程 23
1.3.2 可化为齐次方程的方程 29
1.4 线性方程 33
1.4.1 一阶线性微分方程 33
1.4.2 伯努利（Bernoulli）方程 38
1.4.3 黎卡提（Riccati）方程 40
1.5 恰当方程 43
1.5.1 恰当方程 43
1.5.2 积分因子 50
1.6 一阶隐方程 57
1.6.1 求解一阶隐方程的基本思想 57
1.6.2 几种可求解的一阶隐方程 60
本章要点 70
第二章 一阶微分方程的基本理论 74
2.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理 75
2.1.1 已解出导数的一阶方程解的存在唯一性定理 75
2.1.2 几点说明 82
2.1.3 一阶隐方程解的存在唯一性定理 88
2.2 解的延拓 89
2.3 解对初值的连续性和可微性 93
本章要点 95
第三章 高阶微分方程 96
3.1 高阶微分方程解的存在唯一性定理 96
3.1.1 一般高阶方程解的存在唯一性定理 96
3.1.2 高阶线性方程解的存在唯一性定理 98
3.2 高阶齐线性方程解的结构 98
3.2.1 n阶齐线性方程解的性质 98
3.2.2 函数的线性相关与线性无关 99
3.2.3 n阶齐线性方程解的结构 103
3.3 高阶非齐线性方程解的结构及常数变易法 109
3.3.1 非齐线性方程与齐线性方程解的关系 109
3.3.2 高阶非齐线性方程解的结构 110
3.3.3 由齐线性方程的通解求非齐线性方程的解——常数变易法 111
3.4 高阶常系数齐线性方程的解法 117
3.4.1 常系数齐线性方程的解法 117
3.4.2 欧拉方程 126
3.5 常系数高阶非齐线性方程一些特殊类型的解法 130
3.5.1 f(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm 121
3.5.2 f(x)=(b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm)eλx 134
3.5.3 f(x)=[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]eax 138
3.6 几种可降阶的高阶方程 144
3.6.1 不显含未知函数y的方程 145
3.6.2 不显含自变量x的方程 147
3.6.3 关于y,y′,…y（x）是齐次的方程 149
3.6.4 利用已知解对齐线性方程进行降阶 151
本章要点 153
第四章 线性微分方程组 155
4.1 基本概念 155
4.1.1 引例 155
4.1.2 基本概念 156
4.1.3 高阶微分方程或方程组化为一阶微分方程组 158
4.2 简单的方程组的一些解法 163
4.2.1 消元法 163
4.2.2 组合法 164
4.2.3 对称法 165
4.3 线性方程组解的结构理论 167
4.3.1 关于一阶线性方程组解的存在唯一性 167
4.3.2 齐线性方程组解的性质 170
4.3.3 函数向量的线性相关与线性无关 171
4.3.4 齐线性方程组的解空间及其维数 174
4.3.5 非齐线性方程组解的结构 178
4.3.6 由齐线性方程组的通解求非齐线性方程组的解——常数变易法 180
4.4 常系数线性方程组的解法 186
4.4.1 常系数齐线性方程组的解法 186
4.4.2 常系数非齐线性方程组的解法 197
本章要点 202
第五章 常微分方程与中学数学 204
5.1 奇解与包络 204
5.1.1 奇解与包络的定义 204
5.1.2 包络与奇解的求法 207
5.2 克莱罗（Clairaut）方程与二次曲线及摆线 213
5.2.1 克莱罗方程 213
5.2.2 克莱罗方程与二次曲线 215
5.2.3 克莱罗方程与摆线 223
5.3 微分方程与一些函数方程 226
5.4 微分方程与轨线问题 232
5.4.1 轨线的定义 232
5.4.2 轨线所满足的微分方程 232
5.5 微分方程与自然数方幂和公式 238
5.6 微分方程与极值曲线问题 243
本章要点 250
习题答案 250
附录 常微分方程发展简介 262