第1章 线性代数和二次型 1
1.1 线性方程和线性变换 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 正交矢量组、完备性 3
1.1.3 线性变换、矩阵 4
1.1.4 双线型、二次型和埃尔米特型 9
1.1.5 正交变换和复正交变换 12
1.2 含线性参数的线性变换 14
1.3 二次型和埃尔米特型的主轴变换 19
1.3.1 根据极大值原理作主轴变换 19
1.3.2 本征值 22
1.3.3 推广于埃尔米特型 23
1.3.4 二次型的惰性定理 23
1.3.5 二次型的预解式的表示 24
1.3.6 与二次型相联属的线性方程组的解 25
1.4 本征值的极小-极大性 26
1.4.1 用极小-极大问题表征本征值 26
1.4.2 应用、约束 28
1.5 补充材料及问题 29
1.5.1 线性独立性及格拉姆行列式 29
1.5.2 行列式的阿达马不等式 30
1.5.3 正则变换的广义处理 31
1.5.4 无穷多个变数的变线型和二次型 34
1.5.5 无穷小线性变换 35
1.5.6 微扰 36
1.5.7 约束 38
1.5.8 矩阵或变线型的初等除数 38
1.5.9 复正交矩阵的谱 39
参考文献 39
第2章 任意函数的级数展开 41
2.1 正交函数组 41
2.1.1 定义 41
2.1.2 一组函数的正交化 43
2.1.3 贝塞尔不等式、完备性关系、平均逼近 43
2.1.4 无穷多个变数的正交变换和复正交变换 46
2.1.5 在多个自变数及更一般的假定下上述结果的正确性 47
2.1.6 多变数完备函数组的构造 47
2.2 函数的聚点定理 48
2.2.1 函数空间的收敛性 48
2.3 独立性测度和维数 51
2.3.1 独立性测度 51
2.3.2 一函数序列的渐近维数 52
2.4 魏尔斯特拉斯逼近定理、幂函数和三角函数的完备性 54
2.4.1 魏尔斯特拉斯逼近定理 54
2.4.2 推广到多元函数的情形 56
2.4.3 函数及其微商同时用多项式逼近 57
2.4.4 三角函数的完备性 57
2.5 傅里叶级数 58
2.5.1 基本定理的证明 58
2.5.2 重傅里叶级数 61
2.5.3 傅里叶系数的数量级 62
2.5.4 基本区间长度的更改 62
2.5.5 例子 62
2.6 傅里叶积分 64
2.6.1 基本定理 64
2.6.2 把上节结果推广到多元函数的情形 66
2.6.3 互逆公式 67
2.7 傅里叶积分的例子 68
2.8 勒让德多项式 69
2.8.1 从幂函数1,x,x2，…的正交化作出勒让德多项式 69
2.8.2 母函数 71
2.8.3 勒让德多项式的其他性质 72
2.9 其他正交组的例子 73
2.9.1 导致勒让德多项式的问题的推广 73
2.9.2 切比雪夫多项式 74
2.9.3 雅可比多项式 76
2.9.4 埃尔米特多项式 77
2.9.5 拉盖尔多项式 79
2.9.6 拉盖尔函数和埃尔米特函数的完备性 81
2.10 补充材料和问题 82
2.10.1 等周问题的赫尔维茨解 82
2.10.2 互逆公式 83
2.10.3 傅里叶积分和平均收敛性 84
2.10.4 由傅里叶级数和积分所得的谱分解 85
2.10.5 稠密函数组 85
2.10.6 赫·明兹关于幂函数完备性的一个定理 86
2.10.7 费耶求和定理 86
2.10.8 梅林反演公式 87
2.10.9 吉布斯现象 89
2.10.10 关于格拉姆行列式的一个定理 91
2.10.11 勒贝格积分的应用 92
参考文献 93
第3章 线性积分方程 95
3.1 引论 95
3.1.1 符号和基本概念 95
3.1.2 以积分表示的函数 96
3.1.3 退化核 97
3.2 退化核的弗雷德霍姆定理 97
3.3 对任意核的弗雷德霍姆定理 100
3.4 对称核及其本征值 103
3.4.1 对称核的本征值的存在性 103
3.4.2 本征函数和本征值的全体 106
3.4.3 本征值的极大-极小性质 110
3.5 展开定理及其应用 112
3.5.1 展开定理 112
3.5.2 非齐次线性积分方程的解 113
3.5.3 累次核的双线公式 114
3.5.4 Mercer定理 116
3.6 诺伊曼级数和预解核 117
3.7 弗雷德霍姆公式 119
3.8 积分方程理论的另一推导 123
3.8.1 一个引理 123
3.8.2 对称核的本征函数 124
3.8.3 非对称核 125
3.8.4 本征值和本征函数对核的连续依赖性 126
3.9 本理论的推广 126
3.10 补充材料和问题 127
3.10.1 问题 127
3.10.2 奇异积分方程 128
3.10.3 依·施密特关于弗雷德霍姆定理的推导 129
3.10.4 解对称积分方程的恩斯库格法 129
3.10.5 决定本征函数的凯洛格法 130
3.10.6 核的形式函数及其本征值 130
3.10.7 没有本征函数的一个非对称核例子 131
3.10.8 沃尔泰拉积分方程 131
3.10.9 阿贝尔积分方程 131
3.10.10 属于一非对称核的共轭正交组 132
3.10.11 第一类积分方程 132
3.10.12 无穷多变数法 133
3.10.13 本征函数的极小性 134
3.10.14 极性积分方程 134
3.10.15 可对称化的核 134
3.10.16 由函数方程决定预解核 134
3.10.17 正（负）定核的连续性 135
3.10.18 哈默斯坦定理 135
参考文献 135
第4章 变分法 137
4.1 变分法的问题 137
4.1.1 函数的极大和极小 137
4.1.2 泛函 139
4.1.3 变分法的典型问题 140
4.1.4 变分法特有的困难 143
4.2 直接解 144
4.2.1 等周问题 144
4.2.2 瑞利-里茨方法、极小化序列 144
4.2.3 其他直接方法、有限差法、无穷多个变数法 145
4.2.4 关于变分直接方法的一般讨论 149
4.3 欧拉方程 151
4.3.1 变分法中“最简单的问题” 151
4.3.2 多个未知函数的问题 153
4.3.3 高阶微商的出现 155
4.3.4 多个自变数的情形 156
4.3.5 欧拉微分式之恒等于零 158
4.3.6 齐次形的欧拉方程 160
4.3.7 条件的放宽、杜布瓦雷蒙和哈尔定理 163
4.3.8 变分问题和函数方程 167
4.4 欧拉微分方程的积分 168
4.5 边界条件 169
4.5.1 自由边界的自然边界条件 170
4.5.2 几何问题、横交条件 172
4.6 二级变分及勒让德条件 174
4.7 带附加条件的变分问题 176
4.7.1 等周问题 176
4.7.2 有限附加条件 178
4.7.3 微分方程作为附加条件 180
4.8 欧拉方程的不变性 181
4.8.1 欧拉式作为函数空间的梯度、欧拉式的不变性 181
4.8.2 △u的变换、球坐标 183
4.8.3 椭球坐标 184
4.9 变分问题之变换为正则形和回转形 188
4.9.1 在附加条件下通常极小问题的变换 188
4.9.2 最简单的一些变分问题的回转变换 190
4.9.3 变分问题向正则形的变换 194
4.9.4 推广 195
4.10 变分法和数学物理微分方程 197
4.10.1 一般的讨论 197
4.10.2 振动的弦和振动的杆 199
4.10.3 膜与板 200
4.11 互逆二次变分问题 204
4.12 补充材料和练习 209
4.12.1 一给定微分方程的变分问题 209
4.12.2 等周问题的可逆性 209
4.12.3 圆形光线 209
4.12.4 代多问题 209
4.12.5 空间问题的例 209
4.12.6 示性曲线及其应用 210
4.12.7 变动的区域 211
4.12.8 诺特关于不变变分问题的定理、质点力学问题中的积分 213
4.12.9 重积分的横交条件 216
4.12.10 曲面上的欧拉微分式 217
4.12.11 静电学中的汤姆生原理 217
4.12.12 弹性体的平衡问题、卡斯泰尔诺沃原理 218
4.12.13 翘曲的变分问题 221
参考文献 223
第5章 振动和本征值问题 224
5.1 线性微分方程述引 224
5.1.1 叠加原理 224
5.1.2 齐次和非齐次问题、边界条件 225
5.1.3 形式关系、伴随微分式、格林公式 226
5.1.4 线性函数方程——线性方程组的类似和极限情形 228
5.2 有限自由度的系统 228
5.2.1 简正形振动、简正坐标、运动的普遍理论 229
5.2.2 振动系统的一般性质 232
5.3 弦的振动 232
5.3.1 均匀弦的自由运动 233
5.3.2 受迫振动 235
5.3.3 一般的不均匀的弦和施图姆-刘维尔本征值问题 236
5.4 杆的振动 239
5.5 膜的振动 241
5.5.1 关于均匀膜的一般本征值问题 241
5.5.2 受迫运动 242
5.5.3 节线 243
5.5.4 矩形膜 243
5.5.5 圆形膜、贝塞尔函数 245
5.5.6 不均匀的膜 247
5.6 板的振动 248
5.6.1 概述 248
5.6.2 圆形边界 248
5.7 关于本征函数法的一般性问题 249
5.7.1 振动及平衡问题 249
5.7.2 热传导及本征值问题 252
5.8 三维连续体的振动、分离变数法 253
5.9 本征函数和势论中的边值问题 254
5.9.1 圆、球、球壳 254
5.9.2 柱形区域 257
5.9.3 拉梅问题 257
5.10 施图姆-刘维尔型问题、奇异边界点 261
5.10.1 贝塞尔函数 261
5.10.2 任意阶的勒让德函数 262
5.10.3 雅可比及切比雪夫多项式 264
5.10.4 埃尔米特及拉盖尔多项式 264
5.11 施图姆-刘维尔方程解的渐近行为 266
5.11.1 当自变数趋向无穷时解的有界性 267
5.11.2 更确切一点的结果（贝塞尔函数） 267
5.11.3 当参数增大时的有界性 269
5.11.4 解的渐近表示 270
5.11.5 施图姆-刘维尔本征函数的渐近表示 271
5.12 具有连续谱的本征值问题 273
5.12.1 三角函数 274
5.12.2 贝塞尔函数 274
5.12.3 无穷平面的膜振动方程的本征值问题 274
5.12.4 薛定谔本征值问题 275
5.13 微扰理论 277
5.13.1 单重本征值 277
5.13.2 重本征值 279
5.13.3 微扰理论的一例 281
5.14 格林函数（影响函数）及化微分方程为积分方程 282
5.14.1 格林函数及常微分方程的边值问题 283
5.14.2 格林函数的构造、广义格林函数 285
5.14.3 微分方程和积分方程的等价 288
5.14.4 高阶常微分方程 290
5.14.5 偏微分方程 292
5.15 格林函数的例子 297
5.15.1 常微分方程 297
5.15.2 对圆和球△u的格林函数 302
5.15.3 格林函数和保角映射 302
5.15.4 在球面上的势方程的格林函数 303
5.15.5 直角平行六面体中△u=0的格林函数 303
5.15.6 矩形内△u的格林函数 308
5.15.7 圆形环的格林函数 310
5.16 补充材料 311
5.16.1 弦振动的例子 311
5.16.2 自由悬挂的绳的振动、贝塞尔函数 313
5.16.3 振动方程明显解的例子、椭圆柱函数 314
5.16.4 含有参数的边界条件 315
5.16.5 微分方程组的格林张量 315
5.16.6 方程△u＋λu=0解的解析延拓 316
5.16.7 关于△u＋λu=0解的节线的定理 317
5.16.8 无穷重数的本征值的例 317
5.16.9 展开定理的有效范围 317
参考文献 317
第6章 变分法在本征值问题上的应用 319
6.1 本征值的极值性质 319
6.1.1 经典的极值性质 319
6.1.2 推广 322
6.1.3 当区域具有分隔组成部分时的本征值问题 325
6.1.4 本征值的极大-极小性质 325
6.2 由本征值的极值性质所得的一般结论 326
6.2.1 一般定理 326
6.2.2 本征值的无限增大 330
6.2.3 施图姆-刘维尔问题中本征值的渐近性质 331
6.2.4 奇异微分方程 332
6.2.5 关于本征值增大的进一步讨论、负本征值的出现 333
6.2.6 本征值的连续性 335
6.3 完备性和展开定理 339
6.3.1 本征函数的完备性 339
6.3.2 展开定理 341
6.3.3 展开定理的推广 342
6.4 本征值的渐近分布 343
6.4.1 在矩形上的方程 344
6.4.2 在有限多个方形或立方体所作成的区域上的方程△u＋λu=0 345
6.4.3 把结果推广于一般的微分方程L［u］＋λpu=0 347
6.4.4 对任意区域本征值的渐近分布 349
6.4.5 对微分方程△u＋λu=0而言本征值的渐近分布规律较精确的形式 354
6.5 薛定谔型的本征值问题 355
6.6 本征函数的节 360
6.7 补充材料和问题 364
6.7.1 本征值的极小性质、由完备性所作的推导 364
6.7.2 用没有节这个性质来刻画第一个本征函数 365
6.7.3 本征值的另外一些极小性质 366
6.7.4 本征值的渐近分布 367
6.7.5 双参数本征值问题 367
6.7.6 包含参数的边界条件 367
6.7.7 闭曲面的本征值问题 368
6.7.8 当有奇点出现时本征值的估计 368
6.7.9 板和膜的极小定理 369
6.7.10 双质量分布的极小问题 369
6.7.11 施图姆-刘维尔问题的节点、极大-极小原理 369
参考文献 370
第7章 本征值问题所定义的特殊函数 372
7.1 线性二阶微分方程的初步讨论 372
7.2 贝塞尔函数 373
7.2.1 积分变换的应用 373
7.2.2 汉克尔函数 374
7.2.3 贝塞尔函数和诺伊曼函数 376
7.2.4 贝塞尔函数的积分表示式 378
7.2.5 汉克尔函数和贝塞尔函数的另一积分表示式 380
7.2.6 贝塞尔函数的幂级数展开 385
7.2.7 各贝塞尔函数间的关系 388
7.2.8 贝塞尔函数的零点 394
7.2.9 诺伊曼函数 397
7.3 勒让德函数 401
7.3.1 施拉夫利积分 401
7.3.2 拉普拉斯的积分表示式 403
7.3.3 第二类勒让德函数 403
7.3.4 联属勒让德函数（高阶勒让德函数） 404
7.4 应用积分变换方法于勒让德、切比雪夫、埃尔米特及拉盖尔方程 405
7.4.1 勒让德函数 405
7.4.2 切比雪夫函数 406
7.4.3 埃尔米特函数 407
7.4.4 拉盖尔函数 408
7.5 拉普拉斯球面调和函数 409
7.5.1 2n+1个n阶球面调和函数的确定 409
7.5.2 函数组的完备性 410
7.5.3 展开定理 410
7.5.4 泊松积分 411
7.5.5 麦克斯韦-西尔维斯特的球面调和函数表示式 412
7.6 渐近展开 417
7.6.1 斯特林公式 417
7.6.2 当变量值大时汉克尔和贝塞尔函数的渐近计算 419
7.6.3 马鞍点法 421
7.6.4 应用马鞍点法计算大参量和大变量的汉克尔函数和贝塞尔函数 422
7.6.5 马鞍点法的一般讨论 426
7.6.6 达布方法 426
7.6.7 应用达布方法于勒让德多项式的渐近展开 427
7.7 附录：球面调和函数的变换 429
7.7.1 导言及符号 429
7.7.2 正交变换 429
7.7.3 球面调和函数的一个母函数 432
7.7.4 变换公式 434
7.7.5 直角坐标下的表示式 435
附加参考文献 438
索引 443