第1章 计算水力学和基本控制方程 1
1.1 引言 1
1.2 本书的基本内容 3
1.3 物理守恒定律的数学表达式 4
1.3.1 连续方程、动量方程和能量方程 4
1.3.2 均值方程与脉动量方程 13
1.3.3 水动力学计算中的基本方程 16
1.3.4 涡的传输方程 22
1.3.5 标量的传输方程 24
1.3.6 方程的分类 25
参考文献 28
第一篇 有限差分法 31
第2章 有限差分的基本形式 31
2.1 基本概念 31
2.1.1 连续函数与数值离散逼近 31
2.1.2 差分的概念 32
2.2 Taylor级数法 33
2.3 多项式插值 35
2.4 积分法 36
2.5 控制体法 38
2.6 显式和隐式差分格式 41
2.6.1 显式差方格式 41
2.6.2 隐式差分格式 41
2.7 差分方程的守恒性 42
2.8 差分方程的相容性、收敛性和稳定性 45
2.8.1 相容性 45
2.8.2 收敛性 47
2.8.3 稳定性 47
2.9 特征线法 64
2.9.1 特征方程、特征线和Riemann不变量 64
2.9.2 特征线法 67
2.10 显式差分格式 70
2.10.1 Lax格式和耗散界面（Dissipative Interface） 70
2.10.2 逆风格式（Upwind Scheme） 72
2.10.3 蛙跳格式（Leap-frog Scheme） 73
2.10.4 Dufort-Frankel格式 76
2.10.5 Lax-Wendroff二阶精度格式 77
2.10.6 MaCormack格式 79
2.10.7 Adams-Bashforth格式 80
2.10.8 Rusanov格式 81
2.10.9 CaMapcкий格式 82
2.10.10 TVD格式 83
2.11 隐式差分格式 87
2.11.1 一般描述 87
2.11.2 隐式格式的变权形式 90
2.11.3 矩阵稳定分析法 91
2.11.4 隐式格式的解法 94
2.11.5 关于隐式格式的若干说明 95
2.12 变系数与非线性方程的有限差分离散 96
2.12.1 非线性微分方程的显式格式 96
2.12.2 非线性微分方程的隐式格式 99
2.12.3 线性迭代（Picard）与二次迭代（Newton）的比较 103
2.13 二维和三维方程的有限差分离散 103
2.13.1 概述 103
2.13.2 分步法的概念 104
2.13.3 空间概念上的分步法 104
2.13.4 物理概念上的分步法 113
2.13.5 空间概念上和物理概念上联合分步的格式 115
2.14 初始条件与边界条件 116
2.15 误差分析 120
2.15.1 舍入误差和截断误差 120
2.15.2 误差的物理概念 122
2.16 适定性的物理意义与Lax等价定理 128
第3章 有限差分法在水力学问题中的应用 130
3.1 明渠非恒定流的有限差分解 130
3.1.1 一维明渠非恒定流方程（Saint-Venant Equations） 130
3.1.2 明渠非恒定流微分方程的差分形式 131
3.1.3 Lax-Wendroff格式，Abbott格式和Preissmann格式的误差分析 154
3.1.4 河网非恒定流的有限差分解 162
3.1.5 平面二维明渠非恒定流的有限差分解 169
3.1.6 计算实例 196
3.2 扩散问题的有限差分解 199
3.2.1 一维扩散方程的数值解 199
3.2.2 二维对流－扩散方程的数值解 203
3.2.3 计算实例 206
3.3 明渠重力异重流的有限差分解 209
3.3.1 异重流的控制方程 209
3.3.2 异重流内界面的定义 211
3.3.3 异重流控制方程的简化形式 212
3.3.4 算例 215
3.4 浅水区波浪问题的有限差分解 217
3.4.1 微分方程 217
3.4.2 Boussinesq方程的数值解 220
3.4.3 计算实例 222
3.5 河床演变的有限差分解 223
3.5.1 河床演变的数学模型Ⅰ（考虑总输沙过程或底沙输送为主的情况） 223
3.5.2 数值模型Ⅰ的数值解 229
3.5.3 河床演变的数值模型Ⅱ（以悬移质为主的情况） 231
3.5.4 计算实例 234
3.6 Navier-Stokes方程的有限差分解 236
3.6.1 概述 236
3.6.2 速度－压强求解法 242
3.6.3 计算实例 247
3.7 势流的有限差分解 248
3.7.1 概述 248
3.7.2 迭代求解法 249
3.7.3 边界条件 253
3.7.4 收敛准则 254
3.7.5 迭代法的收敛性和收敛速度 254
3.7.6 计算实例 259
参考文献 262
第二篇 有限单元法 267
第4章 有限单元法的预备知识 267
4.1 线性空间及线性算子 267
4.1.1 线性空间（Linear Space） 267
4.1.2 线性算子 268
4.1.3 最佳逼近 269
4.2 伽辽金法的基本概念 274
4.2.1 基本概念 274
4.2.2 例子 274
第5章 有限单元法 277
5.1 有限单元法的基本概念 277
5.2 伽辽金有限单元法离散 280
5.2.1 单元矩阵 280
5.2.2 整体矩阵 289
5.3 施加边界条件 292
第6章 内插函数 294
6.1 概述 294
6.2 三角形单元 295
6.2.1 斜坐标和面坐标 295
6.2.2 线性内插函数 298
6.2.3 二次内插函数 301
6.3 矩形单元 303
6.3.1 局部坐标系 303
6.3.2 线性插值函数 304
6.3.3 二次内插函数 304
6.3.4 等参单元 306
第7章 在水力学问题中的应用 311
7.1 渗流问题中的应用 311
7.1.1 恒定渗流 311
7.1.2 非恒定渗流 312
7.2 明渠非恒定流计算 318
7.2.1 控制方程 318
7.2.2 控制方程的离散 318
参考文献 326
第三篇 有限体积法 331
第8章 有限体积法 331
8.1 基本概念 332
8.1.1 相关名词 332
8.1.2 控制体积的选择 333
8.1.3 结构与非结构网格 334
8.2 有限体积法离散 336
8.2.1 离散思路及基本格式 336
8.2.2 物理特性要求 340
8.2.3 迎风型通量格式 343
8.2.4 TVD格式 347
8.3 非结构网格上的有限体积法 351
8.3.1 基本方程 351
8.3.2 离散基本思路 353
8.3.3 数值通量的近似 354
第9章 在水力学问题中的应用 358
9.1 二维明渠非恒定流计算 358
9.1.1 基本方程 358
9.1.2 控制方程的离散 359
9.1.3 计算实例 370
9.2 浅水方程的LU-SGS隐式算法 377
9.2.1 网格重新编号 377
9.2.2 LU-SGS隐式推进 381
9.2.3 长江口潮流模拟 383
9.3 三维浅水流动计算 385
9.3.1 基本方程 385
9.3.2 数值方法 386
9.3.3 模型验证 388
9.4 三维紊动分层流计算 391
9.4.1 紊动分层流基本方程 392
9.4.2 紊流模型及控制方程离散 393
9.4.3 压力校正法 393
9.4.4 边界条件 396
9.4.5 盐度引起的负浮力流动的模拟 397
参考文献 400
第四篇 边界的特殊处理 405
第10章 开边界 405
10.1 概述 405
10.2 辐射型开边界模型 405
10.2.1 辐射型开边界模型（Sommerfeld Condition） 405
10.2.2 曲线边界条件下含变系数波动方程的开边界 409
10.2.3 一阶对流方程 411
10.2.4 线性浅水方程的开边界 416
10.2.5 开边界条件的有限差分离散 419
10.3 特征方程型开边界模型 420
10.3.1 特征方程法 420
10.3.2 在明渠非恒定流动的应用 424
10.3.3 N-S方程中的应用 431
第11章 动边界 444
11.1 概述 444
11.2 欧拉（Euler）模型 445
11.2.1 MAC法（Maker-In-Cell Method） 445
11.2.2 流体体积法［Volume of Fluid（VOF）Method］ 452
11.2.3 网格变换法 458
11.3 拉格朗日模型（Lagrangian Model） 469
11.3.1 标准的拉格朗日法 469
11.3.2 拉格朗日－欧拉（Lagrangian-Eulerian）模型 478
11.3.3 自由拉格朗日（Lagrange）模型 490
第12章 网格变换 501
12.1 概述 501
12.2 广义曲线坐标 502
12.2.1 广义坐标 502
12.2.2 变换的度量张量和物理特性 504
12.2.3 正交和保角坐标的限制 505
12.2.4 广义坐标引入的附加误差 507
12.2.5 广义坐标系中的控制方程 509
12.3 区域映射的类型 512
12.3.1 单连通域（Simply Connected Regions） 512
12.3.2 多连通域（Multiply-Connected Regions） 514
12.4 坐标变换的微分方程法 516
12.4.1 求解椭圆微分方程 516
12.4.2 广义坐标应用的例子 519
参考文献 521
第五篇 可视化方法与应用 525
第13章 基本信息元的可视化方法 525
13.1 标量场的可视化方法 525
13.1.1 等值线的绘制方法 525
13.1.2 曲面的绘制方法 530
13.2 矢量场的可视化方法 531
13.2.1 流场的可视化方法 531
13.2.2 流线的绘制 534
第14章 可视化发展趋势 536
14.1 地理信息系统的结合 536
14.2 虚拟现实的应用 537
14.3 OpenGL的应用 542
14.4 网络化趋势 547
参考文献 547
附录1 浅水方程有限单元离散方程中的单元矩阵 549
附录2 非恒定渗流有限单元模型的单元矩阵 556
附录3 一维非恒定流计算程序 557
附录4 二维对流－扩散方程程序 562
附录5 拓广的拉普拉斯方程的有限单元程序 566
附录6 例子程序：Lawson算法 577
附录7 等值线的绘制程序 584