第一讲 变分学与变分问题 1
1.1 前言 1
1.2 泛函 3
1.3 典型例子 3
1.4 进一步的例子 7
第二讲 Euler-Lagrange方程 13
2.1 函数极值必要条件之回顾 13
2.2 Euler-Lagrange方程的推导 14
2.3 边值条件 19
2.4 求解Euler-Lagrange方程的例子 21
第三讲 泛函极值的必要条件与充分条件 29
3.1 数极值的再回顾 29
3.2 二阶变分 30
3.3 Legendre-Hadamard条件 32
3.4 Jacobi场 34
3.5 共轭点 36
第四讲 强极小与极值场 43
4.1 强极小与弱极小 43
4.2 强极小值的必要条件与Weierstrass过度函数 44
4.3 极值场与强极小值 46
4.4 Mayer场，Hilbert不变积分 52
4.5 强极小值的充分条件 54
4.6 定理4.4的证明（N＞1的情形） 56
第五讲 Hamilton-Jacobi理论 61
5.1 程函与Carathéodory方程组 61
5.2 Legendre变换 62
5.3 Hamilton方程组 64
5.4 Hamilton-Jacobi方程 67
5.5 Jacobi定理 69
第六讲 含多重积分的变分问题 75
6.1 Euler-Lagrange方程的推导 76
6.2 边值条件 82
6.3 二阶变分 83
6.4 Jacobi场 86
第七讲 约束极值问题 91
7.1 等周问题 91
7.2 逐点约束 96
7.3 变分不等式 102
第八讲 守恒律与Noether定理 107
8.1 单参数微分同胚与Noether定理 107
8.2 能动张量与Noether定理 111
8.3 内极小 117
8.4 应用 119
第九讲 直接方法 125
9.1 Dirichlet原理与极小化方法 125
9.2 弱收敛与＊弱收敛 127
9.3 ＊弱列紧性 130
9.4 自反空间与Eberlein-Schmulyan定理＊ 135
第十讲 Sobolev空间 139
10.1 广义导数 139
10.2 空间W m，p（Ω） 140
10.3 泛函表示 143
10.4 光滑化算子 144
10.5 Sobolev空间的重要性质与嵌入定理 145
10.6 Euler-Lagrange方程 151
第十一讲 弱下半连续性 157
11.1 凸集与凸函数 157
11.2 凸性与弱下半连续性 159
11.3 一个存在性定理 162
11.4 拟凸性＊ 163
第十二讲 线性微分方程的边值问题与特征值问题 171
12.1 线性边值问题与正交投影 171
12.2 特征值问题 175
12.3 特征展开 179
12.4 特征值的极小极大刻画 183
第十三讲 存在性与正则性 187
13.1 正则性（n＝1） 188
13.2 正则性续（n＞1） 192
13.3 几个变分问题的求解 194
13.4 变分学的局限 201
第十四讲 对偶作用原理与Ekeland变分原理 203
14.1 凸函数的共轭函数 203
14.2 对偶作用原理 207
14.3 Ekeland变分原理 210
14.4 Fréchet导数与Palais-Smale条件 212
14.5 Nehari技巧 215
第十五讲 山路定理及其推广与应用 219
15.1 山路（Mountain Pass）定理 219
15.2 应用 227
第十六讲 周期解、异宿轨与同宿轨 235
16.1 问题 235
16.2 周期解 237
16.3 异宿轨 242
16.4 同宿轨 246
第十七讲 测地线与极小曲面 251
17.1 测地线 251
17.2 极小曲面 255
第十八讲 变分问题的数值方法 267
18.1 Ritz方法 267
18.2 有限元 269
18.3 Cea定理 274
18.4 最优化方法——共轭梯度法 276
第十九讲 最优控制问题 283
19.1 问题的提法 283
19.2 Pontryagin极大值原理 287
19.3 Bang-Bang原理 293
第二十讲 有界变差函数与图像恢复 295
20.1 一元有界变差函数的回顾 295
20.2 多元有界变差函数 299
20.3 松弛函数 305
20.4 图像恢复与Rudin-Osher-Fatemi模型 307
参考文献 311
索引 315