什么是数学 1
第1章 自然数 6
引言 6
1整数的计算 7
1.算术的规律 7
2.整数的表示 10
3.非十进位制中的计算 13
2数系的无限性 数学归纳法 15
1.数学归纳法原理 15
2.等差级数 18
3.等比级数 19
4.前n项平方和 21
5.一个重要的不等式 22
6.二项式定理 23
7.再谈数学归纳法 26
第1章补充 数论 29
引言 29
1素数 29
1.基本事实 29
2.素数的分布 34
2同余 41
1.一般概念 41
2.费马定理 46
3.二次剩余 48
3毕达哥拉斯数和费马大定理 50
4欧几里得辗转相除法 53
1.一般理论 53
2.在算术基本定理上的应用 58
3.欧拉函数再谈费马定理 59
4.连分数 丢番都方程 61
第2章 数学中的数系 64
引言 64
1有理数 64
1.作为度量工具的有理数 64
2.数学内部对有理数的需要 推广的原则 67
3.有理数的几何解释 69
2不可公度线段 无理数和极限概念 71
1.引言 71
2.十进位小数 无限小数 74
3.极限 无穷等比级数 76
4.有理数和循环小数 80
5.用区间套给出无理数的一般定义 82
6.定义无理数的另一个方法 戴特金分割 85
3解析几何概述 86
1.基本原理 86
2.直线方程和曲线方程 88
4无限的数学分析 91
1.基本概念 91
2.有理数的可数性和连续统的不可数性 93
3.康托的“基数” 97
4.反证法 100
5.有关无限的悖论 101
6.数学的基础 102
5复数 103
1.复数的起源 103
2.复数的几何解释 107
3.棣莫弗公式和单位根 112
4.代数基本定理 115
6代数数和超越数 118
1.定义和存在性 118
2.柳维尔定理和超越数的构造 119
第2章补充 集合代数 124
1.一般理论 124
2.在数理逻辑中的应用 129
3.在概率论中的一个应用 130
第3章 几何作图 数域的代数 134
引言 134
第1部分 不可能性的证明和代数 138
1基本几何作图 138
1.域的构作和开平方根 138
2.正多边形 140
3.阿波罗尼斯问题 143
2可作图的数和数域 145
1.一般理论 145
2.可作图的数都是代数数 152
3三个不可解的希腊问题 153
1.倍立方体问题 153
2.关于三次方程的一个定理 155
3.三等分任意角 157
4.正七边形 159
5.关于化圆为方的问题 160
第2部分 作图的各种方法 161
4几何变换 反演 161
1.一般说明 161
2.反演的性质 162
3.反演点的几何作图 164
4.只用圆规如何二等分一线段及求圆心 165
5用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图 166
1.倍立方体的古典作图 166
2.只限于用圆规 167
3.用机械工具作图 机械曲线 旋轮线 172
4.连杆 波西里叶和哈特的反演器 174
6再谈反演及其应用 176
1.角的不变性 圆族 176
2.在阿波罗尼斯问题上的应用 179
3.重复反射 180
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何 182
1引言 182
1.几何性质的分类 变换下的不变性 182
2.射影变换 184
2基本概念 185
1.射影变换群 185
2.笛沙格定理 186
3交比 188
1.定义和不变性的证明 188
2.在完全四边形上的应用 193
4平行性和无穷远 195
1.作为“理想点”的无穷远点 195
2.理想元素和射影 197
3.含有无穷远元素的交比 199
5应用 200
1.初步说明 200
2.平面上笛沙格定理的证明 201
3.巴斯嘉定理 202
4.布利安桑定理 203
5.对偶性简介 204
6解析表示 205
1.初步说明 205
2.齐次坐标 对偶性的代数基础 206
7只用直尺的作图问题 210
8二次曲线和二次曲面 212
1.二次曲线的初等度量几何 212
2.二次曲线的射影性质 215
3.二次曲线看作线曲线 218
4.关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理 221
5.双曲面 223
9公理体系和非欧几何 224
1.公理方法 224
2.双曲非欧几里得几何 228
3.几何与现实 232
4.庞加莱的模型 233
5.椭圆几何或黎曼几何 234
附录 高维空间中的几何学 236
1.引言 236
2.解析的方法 236
3.几何的方法或组合的方法 239
第5章 拓扑学 243
引言 243
1多面体的欧拉公式 244
2图形的拓扑性质 248
1.拓扑性质 248
2.连通性 251
3拓扑定理的其他例子 252
1.若当曲线定理 252
2.四色问题 253
3.维的概念 255
4.不动点定理 258
5.纽结 262
4曲面的拓扑分类 263
1.曲面的亏格 263
2.曲面的欧拉示性数 265
3.单侧曲面 266
附录 270
1.五色定理 270
2.多边形的若当曲线定理 273
3.代数基本定理 275
第6章 函数和极限 278
引言 278
1变量和函数 279
1.定义和例子 279
2.角的弧度制 284
3.函数的图像 反函数 285
4.复合函数 288
5.连续性 290
6.多元函数 292
7.函数和变换 295
2极限 296
1.序列an的极限 296
2.单调序列 302
3.欧拉数e 305
4.数π 307
5.连分数 309
3连续趋近的极限 312
1.引言 一般定义 312
2.极限概念的评述 314
3. sin x/x的极限 316
4.当x→∞时的极限 318
4连续性的精确定义 320
5有关连续函数的两个基本定理 323
1.布尔查诺定理 323
2.布尔查诺定理的证明 323
3.维尔斯特拉斯极值定理 324
4.有关序列的一个定理 紧致集 326
6布尔查诺定理的一些应用 328
1.几何上的应用 328
2.力学问题上的一个应用 330
第6章补充 极限和连续的一些例题 333
1极限的例题 333
1.一般说明 333
2.q n的极限 334
3.？的极限 335
4.不连续函数当作连续函数的极限 337
5.极限的叠代求法 338
2连续性的例题 340
第7章 极大与极小 342
引言 342
1初等几何中的问题 343
1.两边给定求面积极大的三角形 343
2.赫伦定理光线的极值性质 343
3.三角形问题上的应用 345
4.椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质 346
5.到给定曲线的距离的极值 349
2基本极值问题的一般原则 351
1.原则 351
2.例题 352
3驻点与微分学 354
1.极值和驻点 354
2.多元函数的极大和极小鞍点 355
3.极小极大点和拓扑学 356
4.点到曲面的距离 357
4施瓦茨的三角形问题 358
1.施瓦茨的证明 358
2.另一种证法 360
3.钝角三角形 362
4.由光线形成的三角形 363
5.有关反射和遍历运动的说明 364
5施泰纳问题 365
1.问题及解答 365
2.两种不同情况的分析 367
3.一个补充问题 368
4.说明与习题 369
5.推广到道路网问题 370
6极值与不等式 371
1.两个正量的算术平均和几何平均 372
2.推广到n个变量 373
3.最小二乘法 375
7极值的存在性 狄里赫莱原理 377
1.一般说明 377
2.例题 379
3.初等极值问题 381
4.比较复杂情形中所存在的困难 382
8等周问题 383
9带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系 386
10变分法 389
1.引言 389
2.变分法 费马光学原理 390
3.贝努利对捷线问题的处理 392
4.球面上的测地线与极大-极小 394
11极小问题的实验解法 肥皂膜实验 395
1.引言 395
2.肥皂膜实验 396
3.普拉图问题的几种新实验 397
4.其他数学问题的实验解法 400
第8章 微积分 405
引言 405
1积分 407
1.面积看作是一个极限 407
2.积分 408
3.积分概念的一般说明 一般定义 412
4.积分举例xr的积分 413
5.“积分运算”的法则 419
2导数 423
1.把导数看作是斜率 423
2.导数看作是一极限 424
3.例题 427
4.三角函数的导数 431
5.可微性和连续性 432
6.导数和速度 二阶导数和加速度 432
7.二阶导数的几何意义 436
8.极大与极小 437
3微分法 438
4莱布尼茨的记号和“无穷小” 445
5微积分基本定理 448
1.基本定理 448
2.初步应用xr，cosx，sin x， arctan x的积分 451
3.表示π的莱布尼茨公式 453
6指数函数与对数函数 455
1.对数的定义和性质 欧拉数e 456
2.指数函数 459
3. ex，ax，xs的微分公式 461
4.用极限表示e，ex和lnx的表达式 463
5.对数的无穷级数展开式 数值计算 466
7微分方程 470
1.定义 470
2.指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利 471
3.其他例题 简谐振动 474
4.牛顿动力学定律 476
第8章补充 479
1原理方面的内容 479
1.可微性 479
2.积分 482
3.积分概念的另一些应用 功 弧长 483
2数量级 486
1.指数函数和x的幂 486
2. ln（n！）的数量级 489
3无穷级数和无穷乘积 490
1.函数的无穷级数 490
2.欧拉公式cos x十i sinx= eix 496
3.调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积 499
4用统计方法得到素数定理 503
第9章 最新进展 508
1产生素数的公式 508
2哥德巴赫猜想和孪生素数 510
3费马大定理 512
4连续统假设 516
5集合论中的符号 516
6四色定理 517
7豪斯道夫维数和分形 521
8纽结 525
9力学中的一个问题 528
10施泰纳问题 530
11肥皂膜和最小曲面 536
12非标准分析 539
附录 补充说明 问题和习题 545
算术和代数 545
解析几何 547
几何作图 554
射影几何和非欧几何 555
拓扑学 556
函数、极限和连续性 559
极大与极小 560
微积分 563
积分法 565
参考书目1 573
参考书目2（推荐阅读） 578
跋 585