第一讲 函数与导数 1
一、探究导函数与原函数图象之间的关系 1
二、探讨切线问题 2
三、求函数的单调性问题 4
四、求函数的极值问题 5
五、求函数的最值问题 6
六、求解某些简单的实际问题 7
七、探究不等式恒成立问题 9
八、探究与抽象函数有关的问题 11
九、探究与二次函数有关的综合性问题 12
十、三次函数有关性质新探 14
十一、以导数为工具探索函数图象的局部性态 17
十二、函数、导数与数列、不等式综合应用 19
第二讲 数列与不等式 21
一、探寻数列的构成规律 21
二、探求数列的前n项和 22
三、求有数列参与的不等式恒成立条件下的参数问题 23
四、有数列参与的不等式的证明问题 24
五、求数列中的最大值问题 25
六、求解探索性问题 26
七、放缩法在与数列有关的不等式中的应用 27
八、善于用函数的观点看数列问题 30
九、构造法在与数列有关的问题中的应用 31
十、数列与不等式中的综合性问题 32
第三讲 解析几何 34
一、直线与圆的位置关系 34
二、圆锥曲线间的相互依存关系 35
三、直线与圆锥曲线的位置关系 36
四、圆锥曲线与平面几何的交汇 39
五、圆锥曲线与向量的交汇 40
六、定点、定值问题 42
七、与圆锥曲线定义有关的问题 45
八、对称问题 46
九、解析几何与导数的交汇 48
十、探索性问题 49
十一、最值与范围问题 53
第四讲 应用性问题 56
一、函数模型 56
二、数列模型 67
三、方程与不等式模型 71
四、解析几何模型 72
五、三角函数与解三角形模型 74
第五讲 数形结合 77
一、通过坐标系形题数解 77
二、通过转化构造数题形解 81
第六讲 分类与整合 86
一、通过对数学概念内涵的分类来解决问题 86
二、数学问题等价转化时需要的分类讨论 88
三、探究问题的多种可能性或多重步骤需要分类讨论 89
四、数学的运算法则本身需要的分类讨论 90
五、通过对参数的分类讨论解决问题 91
第七讲 化归与转化 93
一、通过构造方程组进行转化 93
二、等与不等的相互转化 94
三、特殊与一般的相互转化 95
四、整体与局部的相互转化 96
五、高维与低维的相互转化 98
六、数与形的相互转化 98
七、函数与方程、不等式的相互转化 99
八、根据量的变与不变实施转化 103
第八讲 探索性问题 107
一、条件追溯型 107
二、结论探索型 109
三、存在判断型 113
四、方法探究型 121
第九讲 创新性问题 123
一、以新运算给出的发散型创新题 123
二、以命题的推广给出的类比、归纳型创新题 124
三、以新知识为载体给出的背景新颖的创新题 126
四、以图形为背景的创新性问题 127
五、以新数表为背景的创新性问题 128
六、以新概念、新定义给出的信息迁移创新题 130
参考答案 136