第1章 矩阵 1
1.1基本要求精述 1
1.2基本内容精讲 1
1.2.1矩阵的概念 1
1.2.2矩阵的运算 2
1.2.3矩阵的初等变换与初等矩阵 4
1.2.4可逆矩阵的定义 4
1.2.5可逆矩阵的性质 5
1.2.6可逆矩阵的判别方法 6
1.2.7逆矩阵的计算方法 6
1.2.8分块矩阵 7
1.3典型例题精析 9
1.3.1矩阵乘法 9
1.3.2方阵幂的计算 12
1.3.3逆矩阵的计算 17
1.3.4求解矩阵方程 22
1.3.5有关矩阵可逆的证明题 23
1.3.6综合题 26
1.4单元练习精选 29
1.5单元练习精解 38
第2章 行列式 45
2.1基本要求精述 45
2.2基本内容精讲 45
2.2.1行列式的定义 45
2.2.2行列式的性质 46
2.2.3特殊行列式的值 47
2.2.4分块矩阵对应的行列式公式 48
2.2.5与矩阵运算有关的行列式公式 49
2.2.6行列式的计算 49
2.2.7行列式的应用 50
2.2.8与行列式有关的结论 50
2.3典型例题精析 50
2.3.1利用行列式的定义计算行列式 50
2.3.2直接用行列式的性质计算行列式 52
2.3.3利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 56
2.3.4利用降阶法计算行列式 60
2.3.5利用升阶法计算行列式 61
2.3.6利用递推法计算行列式 63
2.3.7利用析因子法计算行列式 66
2.3.8利用范德蒙行列式计算和证明 67
2.3.9涉及矩阵运算的行列式计算 69
2.3.10利用分块行列式公式计算行列式 71
2.3.11行列式的应用 74
2.3.12综合题 78
2.4单元练习精选 81
2.5单元练习精解 89
第3章 线性代数方程组 98
3.1基本要求精述 98
3.2基本内容精讲 98
3.2.1矩阵秩的定义 98
3.2.2矩阵秩的性质 98
3.2.4矩阵秩的求法 99
3.2.3矩阵秩的有关结论 99
3.2.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 100
3.2.6齐次线性方程组 100
3.2.7非齐次线性方程组 101
3.3典型例题精析 102
3.3.1用定义求矩阵的秩 102
3.3.2用初等变换法求矩阵的秩 103
3.3.3用性质求矩阵的秩 104
3.3.4用有关结论求矩阵的秩 105
3.3.5用齐次方程的基础解系求矩阵的秩 106
3.3.6齐次线性方程组的求法 106
3.3.7非齐次线性方程组的求法 109
3.3.8逆矩阵法求线性方程组的解 113
3.3.9利用解的结构求非齐次方程组的通解 113
3.4单元练习精选 115
3.5单元练习精解 122
4.2.1n维向量 126
4.2基本内容精讲 126
4.1基本要求精述 126
第4章 向量 126
4.2.2向量的内积 127
4.2.3线性组合、线性相关、线性无关的定义 127
4.2.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 128
4.2.5向量的线性相关性的有关结论 128
4.2.6向量组的极大无关组与向量组的秩 129
4.2.7有相同线性关系的向量组 130
4.2.8极大无关组的求法 130
4.2.9向量空间 131
4.2.10向量空间的基和维数 131
4.2.11施密特正交化方法 133
4.2.12标准正交基 133
4.2.13正交矩阵 134
4.2.1齐次线性方程组Ax=0的解空间（A为m×n矩阵） 134
4.3典型例题精析 134
4.3.1向量α可由向量组β1,β2,…,βm线性表出 134
4.3.2线性相关性的判定 137
4.3.3有关线性表出与线性相关性的证明 139
4.3.4求向量组的极大无关组与秩 142
4.3.5有关向量组的极大无关组与秩的计算及证明 145
4.3.6利用向量证明有关矩阵秩的问题 147
4.3.7齐次方程组基础解系的有关求解与证明 149
4.3.8求过渡矩阵 152
4.3.9有关正交基 154
4.4单元练习精选 157
4.5单元练习精解 167
第5章 矩阵特征值问题与二次型 176
5.1基本要求精述 176
5.2基本内容精讲 176
5.2.1特征值与特征向量的定义 176
5.2.2特征值与特征向量的求法 176
5.2.3特征值与特征向量的性质 177
5.2.6 n阶矩阵A可对角化的条件 178
5.2.5相似矩阵的性质 178
5.2.4相似矩阵的概念 178
5.2.7将A对角化的方法 179
5.2.8实对称矩阵的正交对角化 179
5.2.9二次型及其矩阵形式 180
5.2.10与二次型的标准形有关的概念 180
5.2.11化二次型为标准形的方法 182
5.2.12化二次型为规范形的方法 182
5.2.13正定二次型和正定矩阵的概念 183
5.2.14正定矩阵的判别方法 183
5.2.15正定矩阵的有关结论 184
5.3典型例题精析 184
5.3.1特征值与特征向量的计算 184
5.3.2由特征值或特征向量的概念确定矩阵中的某些元素 189
5.3.3有关特征值与特征向量的证明 192
5.3.4利用特征值证明矩阵的可逆性 196
5.3.5矩阵相似与矩阵对角化条件 199
5.3.6实对称阵的正交对角化与用正交变换化二次型为标准形问题 204
5.3.7用配方法化二次型为标准型 209
5.3.8矩阵对角化的应用 212
5.3.9与二次型的标准形有关的问题 215
5.3.10正定矩阵的判别与证明 219
5.3.11利用二次型的知识解决综合问题 224
5.4单元练习精选 227
5.5单元练习精解 235
附录1.1 试卷 246
附录1 线性代数期终试卷精选 246
附录1.2 答案及提示 262
附录2 1987年—2004年硕士生入学考试各类数学试卷中线性代数试题汇编 271
附录2.1试卷 271
附录2.2答案及提示 316
附录3硕士生入学考试模拟练习卷 348
附录3.1练习卷 348
附录3.2答案及提示 361
参考文献 372