第1章 绪论 1
1.1 数值分析 1
1.2 误差 2
1.2.1 误差的概念 2
1.2.2 误差的来源 4
1.2.3 误差的运算 5
1.2.4 有效数字 5
1.3 病态问题与数值稳定性 6
1.3.1 病态问题 6
1.3.2 数值稳定性 8
1.3.3 避免误差的若干原则 8
习题1 10
第2章 非线性方程求根 12
2.1 二分法 12
2.2 简单迭代法及其收敛性 15
2.2.1 简单迭代法 15
2.2.2 简单迭代法的收敛性 17
2.2.3 简单迭代法的收敛阶 20
2.2.4 迭代法的加速方法 22
2.3 Newton迭代法 25
2.3.1 Newton迭代格式 25
2.3.2 Newton迭代法的收敛性 27
2.3.3 Newton迭代法的变形 29
习题2 32
第3章 线性代数方程组的直接解法 33
3.1 线性代数方程组应用举例 34
3.1.1 最小二乘拟合 34
3.1.2 微分方程的数值求解问题 35
3.1.3 热传导方程逆时问题 36
3.2 消元法 37
3.2.1 三角方程组的求解方法 37
3.2.2 Gauss消元法 38
3.2.3 选主元消元法 45
3.2.4 消元法与矩阵分解 48
3.2.5 矩阵求逆与Gauss-Jordan消元法 51
3.3 矩阵的三角分解 54
3.3.1 Doolittle分解 54
3.3.2 Courant分解 58
3.3.3 带状对角矩阵的三角分解与追赶法 59
3.3.4 正定矩阵的三角分解 62
习题3 65
第4章 向量与矩阵范数 67
4.1 向量范数 67
4.1.1 向量范数 67
4.1.2 向量范数性质 69
4.2 矩阵范数 70
4.2.1 矩阵范数 70
4.2.2 误差分析与矩阵的条件数 75
4.2.3 矩阵序列 78
习题4 81
第5章 线性代数方程组的迭代解法 83
5.1 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 85
5.1.1 Jacobi迭代法及其收敛性 85
5.1.2 Gauss-Seidel迭代及其收敛性 89
5.2 松弛迭代法 93
5.3 基于变分原理的迭代法 97
5.3.1 最速下降法 97
5.3.2 共轭梯度法 99
习题5 103
第6章 插值 105
6.1 插值概念 105
6.1.1 插值的定义 105
6.1.2 插值函数的存在唯一性 106
6.2 Lagrange插值 108
6.2.1 线性插值和抛物线插值 108
6.2.2 n次Lagrange插值多项式 110
6.2.3 插值余项与误差估计 112
6.3 Newton插值 117
6.3.1 差商及其计算 118
6.3.2 Newton插值多项式 120
6.4 差分与等距节点的Newton插值 123
6.4.1 差分及其性质 124
6.4.2 等距节点的Newton插值多项式 125
6.5 Hermite插值 126
6.6 分段低次插值 130
6.6.1 Runge现象 130
6.6.2 分段线性插值 131
6.6.3 分段三次Hermite插值 132
6.7 三次样条插值 133
6.7.1 三次样条函数和三次样条插值 133
6.7.2 三次样条插值的m关系式 135
6.7.3 三次样条插值的M关系式 136
习题6 140
第7章 最小二乘与函数的最佳逼近 142
7.1 曲线拟合的最小二乘法 142
7.1.1 曲线拟合 142
7.1.2 形如aebx的曲线拟合 148
7.2 正交多项式 149
7.2.1 内积与正交多项式 149
7.2.2 Legendre多项式 152
7.2.3 Chebyshev多项式 154
7.2.4 无穷区间上的正交多项式 155
7.2.5 基于正交多项式的最小二乘法 156
7.3 函数最佳平方逼近 158
7.3.1 平方逼近 158
7.3.2 最佳平方逼近多项式 160
习题7 162
第8章 数值积分与数值微分 164
8.1 数值积分概述 164
8.1.1 数值积分的概念 164
8.1.2 插值型数值积分公式 166
8.1.3 代数精度与待定系数法 168
8.2 Newton-Cotes数值积分公式 172
8.2.1 Newton-Cotes数值积分 172
8.2.2 Newton-Cotes数值积分公式的代数精度和误差 174
8.3 复化数值积分 176
8.3.1 复化梯形公式 177
8.3.2 复化Simpson公式 178
8.3.3 数值积分的自适应算法 181
8.4 外推方法与Romberg积分 184
8.4.1 节点加密与事后误差估计 184
8.4.2 外推方法 186
8.4.3 Euler-Maclaurin展开 187
8.4.4 Romberg积分 189
8.5 Gau88型数值积分公式 192
8.5.1 基本概念与性质 192
8.5.2 常用的Gauss型数值积分公式 198
8.6 数值微分 202
8.6.1 差商型数值微分公式 202
8.6.2 基于插值的数值微分方法 204
8.6.3 数值微分的外推方法 207
习题8 208
第9章 常微分方程数值解法 211
9.1 Euler方法 212
9.1.1 Euler公式及其几何解释 212
9.1.2 收敛性与误差分析 217
9.2 Runge-Kutta方法 219
9.2.1 基于Taylor展开的单步方法 219
9.2.2 Runge-Kutta方法 222
9.2.3 单步方法的收敛性和稳定性 228
9.3 线性多步法 232
9.3.1 基于数值积分的线性多步法 232
9.3.2 线性多步法构造的待定系数法 236
9.3.3 Adams公式 237
9.4 隐式格式的迭代与预测－校正 237
9.4.1 隐式差分格式的迭代 237
9.4.2 隐式差分格式的预测－校正 238
9.5 方程组与高阶方程的数值解法 242
9.5.1 一阶方程组的数值解法 242
9.5.2 高阶常微分方程的数值解法 243
9.6 边值问题的数值解法 244
9.6.1 常微分方程边值问题 244
9.6.2 边值问题的“打靶法” 246
9.6.3 直接差分方法 248
习题9 249
第10章 矩阵特征值的计算方法 252
10.1 幂法 252
10.1.1 幂法 253
10.1.2 反幂法 256
10.2 Householder矩阵与Givens矩阵，QR分解 257
10.2.1 Householder矩阵 257
10.2.2 Givens矩阵 260
10.2.3 矩阵的QR分解 263
10.3 Jacobi方法与Givens-Householder方法 264
10.3.1 Jacobi方法 264
10.3.2 Givens-Householder方法 268
10.4 一般矩阵特征值的QR方法 272
10.4.1 QR方法 272
10.4.2 Hessenberg矩阵及其QR分解 274
10.4.3 带位移的QR方法 278
习题10 279
第11章 三角插值与快速Fourier变换 281
11.1 三角插值 281
11.2 快速Fourier变换 286
11.2.1 离散Fourier分析 286
11.2.2 快速Fourier变换（Fast Fourier transform） 288
习题11 291
第12章 不适定问题与Tikhonov正则化方法 293
12.1 奇异值分解 293
12.2 Tikhonov正则化方法 298
12.2.1 Tikhonov正则化 298
12.2.2 Tikhonov正则化参数的选取方法 300
12.3 数值微分的Lanczos方法 303
12.3.1 一阶数值微分的Lanczos方法 303
12.3.2 二阶数值微分的Lanczos方法 307
12.3.3 数值实验 308
12.4 一类抛物型方程源项反演 309
12.4.1 问题的数学模型 310
12.4.2 源项反演的正则优化方法 310
12.4.3 数值实验 314
12.5 重建声柔散射体的牛顿迭代法 317
12.5.1 逆散射问题的数学模型 318
12.5.2 基于分解方法的牛顿迭代法 319
12.5.3 数值实验 322
习题12 323
参考文献 325