第1章 张量及其代数运算 1
1.1 仿射空间 1
1.2 仿射坐标系 2
1.3 仿射标架变换 5
1.4 张量概念 7
1.5 张量代数运算 12
1.6 欧氏空间 14
1.7 欧氏空间中的平面和标准正交标架 18
1.8 正交变换与伪正交变换 22
1.9 指标为1的伪欧氏空间 25
1.10 三维真欧氏空间 31
第2章 张量分析 34
2.1 曲线坐标系 34
2.2 局部标架和度量张量 35
2.3 坐标变换和张量场 39
2.4 Christoffel记号 43
2.5 张量场微分学 46
2.6 度量张量的绝对微分 48
2.7 Riemann张量和Riemann空间 49
2.8 梯度、散度和旋度 55
2.9 球和圆柱坐标系下的Laplace和迹Laplace算子 58
第3章 曲面张量和曲面论 62
3.1 曲面上的Gauss坐标系和度量张量 62
3.2 行列式张量 66
3.3 曲面上Christoffel记号和第二、第三基本型 67
3.4 测地线和半测地坐标系 70
3.5 曲面上曲线和曲率 75
3.6 曲面张量的微分学 78
3.7 曲面上混合微分学 83
3.8 Gauss定理和Green公式 87
3.9 S-族坐标系 92
3.10 S-族坐标系下的Laplace算子 101
3.11 基础曲面变形后的度量张量和第二基本型 108
第4章 Riemann流形上的张量 112
4.1 微分流形 112
4.2 Riemann流形 128
4.3 切向量场的微分学 133
4.4 平行移动和测地线 140
4.5 曲率张量 144
4.6 Riemann流形上的微分算子 155
4.7 Einstein流形 161
第5章 在连续介质力学中的应用 165
5.1 连续介质力学的微分方程组 165
5.2 Riemann流形上的Navier-Stokes方程 177
5.3 流面及流面上的流函数方程 182
5.4 三维薄区域上的Navier-Stokes方程以及在二维流面上的限制 186
5.5 在透平机械内部三维流动中的应用 190
5.6 维数分裂方法 196
5.7 叶轮叶片几何形状最佳设计和N-S方程边界控制问题 200
5.8 润滑理论中的广义Reynolds方程 211
5.9 在线性弹性壳体中的应用 228
5.10 三维壳体变分问题的渐近形式 237
5.11 渐近分析 241
5.12 首项的变分问题 251
5.13 误差估计 254
第6章 张量在物理学中的应用 257
6.1 在质点动力学中的应用 257
6.2 Maxwell方程组 262
6.3 在狭义相对论中的应用 265
6.4 广义相对论中的应用 272
6.5 Maxwell-Einstein耦合方程 284
6.6 引力坍缩 286
习题 290
参考文献 300