目 录 1
第一章数学物理方程的基本问题 1
1.1数学物理方程的分类及一般性问题 1
1.1.1基本概念：古典解和广义解 1
1.1.2两个自变量二阶线性方程的分类和化简 4
1.1.3多个自变量线性方程的分类和标准型 9
1.1.4数学物理方程的一般性问题 10
1.2波动方程与Cauchy问题的适定性 12
1.2.1波动方程的Cauchy问题 12
1.2.2非齐次波动方程和推迟势 17
1.2.3能量不等式和Cauchy问题的适定性 18
1.2.4混合问题解的惟一性和稳定性 21
1.3 Laplace方程与Helmholtz方程 24
1.3.1二个自变量的Laplace方程 24
1.3.2调和函数的基本性质 26
1.3.3边值问题的适定性 29
1.3.4Helrnholtz方程与辐射问题 30
1.4热传导方程与定解问题的适定性 32
1.4.1热传导方程的Cauchy问题 32
1.4.2一维热传导方程的混合问题 35
1.4.3混合问题的适定性 37
1.4.4三类典型方程定解问题提法比较 40
习题一 43
第二章本征值问题和分离变数法 46
2.1 Hilbert空间及完备的正交函数集 46
2.1.1Hilbert空间和函数空间L2［a,b］ 46
2.1.2完备的正交归一函数集 48
2.1.3有限区间上的完备系：Legendre多项式 53
2.1.4单位球面上的完备系：球谐函数 57
2.2本征值问题和Sturm-Liouville系统 59
2.2.1 Hermite算子及本征值问题 59
2.2.2 Sturm-Liouville系统 64
2.2.3 Sturm-Liouville多项式系统 70
2.2.4 Hermite多项式与Laguerre多项式 72
2.3有界区域内定解问题的分离变数法 75
2.3.1波动方程的齐次混合问题 76
2.3.2热传导方程的齐次混合问题 79
2.3.3椭圆方程的边值问题 81
2.3.4非齐次问题的本征函数展开 83
2.4正交曲线坐标系中本征值问题的分离变数 86
2.4.1球坐标系中的本征方程 86
2.4.2柱坐标系中的本征方程 90
2.4.3椭圆－双曲柱坐标 93
2.4.4柱函数：Bessel函数的几种不同形式 95
2.5无穷区域混合问题的分离变数法 98
2.5.1波动方程的Cauchy问题 99
2.5.2 Laplace方程的边值问题 102
2.5.3二维轴对称波动方程 106
2.5.4应用于平板的光热激发 108
习题二 109
第三章Green函数方法 112
3.1广义函数及δ函数 112
3.1.1广义函数概念和运算法则 112
3.1.2广义函数的导数 116
3.1.3广义函数的Fourier变换 119
3.1.4弱收敛和广义解 121
3.2二阶常微分方程的Green函数 124
3.2.1 Cauchy问题的Green函数 124
3.2.2边值问题的Green函数 127
3.2.3非齐次Sturm-Liouville边值问题 132
3.2.4广义Green函数 133
3.3高维边值问题的Green函数 138
3.3.1非齐次问题的积分公式 138
3.3.2 Helmholtz方程的Green函数 141
3.3.3无界空间的Green函数和基本解 144
3.3.4镜像法求边值问题的Green函数 151
3.4混合问题的含时Green函数 155
3.4.1热导方程的Green函数 155
3.4.2波动方程的Green函数 160
3.4.3Cauchy问题的基本解 163
3.4.4混合问题Green函数的镜像法 168
3.5广义Green公式及非齐次问题的积分解 169
3.5.1共轭算子及广义Green公式 169
3.5.2椭圆型方程的Green函数 171
3.5.3抛物型方程的Green函数 174
3.5.4双曲型方程的Green函数 178
习题三 181
第四章变分近似方法 185
4.1变分法的基本问题 185
4.1.1泛函和泛函极值的基本概念 185
4.1.2多个变量的变分问题 189
4.1.3变端点问题和自然边界条件 192
4.1.4泛函的条件极值问题 193
4.1.5Hamilton原理与最小位能原理 198
4.2变分法在本征值问题中的应用 201
4.2.1 Hermite算子本征值问题与泛函极值问题的等价 201
4.2.2完备性定理的证明 205
4.2.3极值定理 206
4.2.4 Ritz和Galerkin法解本征值问题 210
4.3变分法在边值问题中的应用 213
4.3.1边值问题与泛函极值问题的等价 213
4.3.2变分解的存在性与广义解 216
4.3.3Ritz法解边值问题 220
4.3.4Galerkin法及非齐次边值问题 222
4.4.1 Kantorovich法 226
4.4变分的其他近似方法 226
4.4.2最速下降法与有界正定算子 229
4.4.3最小平方法及Courant法 232
4.4.4共轭梯度法 233
习题四 236
第五章积分方程基本理论 238
5.1积分方程的形成及分类 238
5.1.1Volterra积分方程的形成 238
5.1.2 Fredholm积分方程的形成 241
5.1.3 Abel方程及第一类积分方程的适定性 243
5.1.4非线性积分方程的形成 245
5.2积分方程的迭代法和有限秩近似 247
5.2.1第二类Fredholm方程的迭代法 247
5.2.2 Banach空间第二类Fredholm方程的迭代技术 250
5.2.3可分核方程和有限秩核近似 255
5.2.4非线性积分方程的迭代法 262
5.3 L2［a,b］空间中的积分方程 264
5.3.1Hermite对称的平方可积核 264
5.3.2第二类Fredholm积分方程及微扰论 269
5.3.3平方可积Hermite对称核的极值性质 273
5.3.4本征值问题的有限秩近似 275
5.3.5一般平方可积核 277
5.4.1 Fourier变换及逆变换 280
5.4积分变换及应用于解积分方程 280
5.4.2 Laplace变换及逆变换 283
5.4.3Hankel变换及逆变换 285
5.4.4 Hilbert变换及逆变换 287
习题五 289
第六章微扰理论 292
6.1本征值问题的微扰 292
6.1.1算子本身的微扰 292
6.1.2简并态的微扰 294
6.1.3边界条件的微扰 297
6.1.4区域微扰 299
6.2正则微扰 302
6.2.1一致有效展开 303
6.2.2非一致有效展开和参数变形法 306
6.2.3参数变形法应用于非线性振动和波动 309
6.2.4多尺度展开法 312
6.3奇异微扰及边界层理论 317
6.3.1边界层理论的基本思想 317
6.3.2二阶线性方程的边值问题 321
6.3.3非线性微扰引起的边界层 326
6.3.4高维边值问题的边界层 329
6.4 WKB近似和应用 334
6.4.1WKB近似 334
6.4.2 Liouville-Green变换 337
6.4.3具有转折点的本征值问题 339
6.4.4 WKB近似的应用 343
习题六 347
第七章数学物理方程的逆问题 351
7.1逆问题基本概念和分类 351
7.1.1逆问题基本概念 351
7.1.2方程逆问题分类 354
7.1.3不适定问题的正则化方法 360
7.1.4第一类Fredholm积分方程的正则化方法 363
7.2脉冲谱技术（PST） 365
7.2.1 PST的基本原理 365
7.2.2光热测量中热导系数的反演 367
7.2.3应用于二维波动方程的逆问题 371
7.2.4应用于环境污染控制的逆源问题 373
7.3本征值逆问题 375
7.3.1本征值的渐近特征 375
7.3.2本征值逆问题的惟一性 379
7.3.3热导方程系数逆问题的惟一性 383
7.3.4数值方法 386
7.4波动方程的逆散射 389
7.4.1波的散射和远场特性 389
7.4.2边界反演的Kirchhoff近似 393
7.4.3非均匀介质反演的Born和Rytov近似 395
7.4.4二维近场逆散射成像理论 398
习题七 404
8.1典型非线性方程及其行波解 406
8.1.1 Burgers方程及冲击波 406
第八章非线性数学物理方程 406
8.1.2 KdV方程及孤立波 408
8.1.3非线性Klein-Gordon方程 411
8.1.4非线性Schr？dinger方程 417
8.2 Hopf-Cole变换和Hirota方法 419
8.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole变换 420
8.2.2 KdV方程的广义Hopf-Cole变换 422
8.2.3 KdV-Burgers方程的广义Hopf-Cole变换 425
8.2.4Hirota方法 426
8.3.1一维Schr？dinger方程的逆散射问题 430
8.3逆散射方法 430
8.3.2解KdV方程初值问题的基本思想 437
8.3.3 KdV方程初值问题的孤立子解 440
8.3.4 Lax理论 445
8.4B？cklund变换 447
8.4.1Bācklund变换的基本思想 448
8.4.2 Sine-Gordon方程的自B？cklund变换 449
8.4.3 KdV方程的自B？cklund变换 452
8.4.4非线性叠加公式 455
习题八 458
人名英汉对照表 460
参考书目 465