第0章 预备知识 1
0.1 多项式 1
0.1.1 数域 1
0.1.2 多项式的运算 2
0.1.3 多项式的整除性 3
0.1.4 多项式的根与标准分解 4
习题0.1 5
0.2 方阵的特征值与特征向量 6
习题0.2 9
0.3 正交矩阵与酉矩阵 9
0.3.1 实向量的内积与正交矩阵 10
0.3.2 共轭矩阵 11
0.3.3 复向量的内积与酉矩阵 12
习题0.3 14
0.4 H-矩阵与H-二次型 14
0.4.1 H-矩阵的定义与基本性质 14
0.4.2 H-二次型 15
习题0.4 17
第1章 线性空间与线性变换 18
1.1 线性空间的定义及基本性质 18
1.1.1 线性空间的定义 18
1.1.2 线性空间的基本性质 21
习题1.1 23
1.2 基与维数 23
习题1.2 28
1.3 坐标与坐标变换 29
1.3.1 向量的坐标 29
1.3.2 基变换与坐标变换 32
习题1.3 35
1.4 线性变换及其性质 36
1.4.1 变换及其运算 36
1.4.2 线性变换的定义与基本性质 38
习题1.4 42
1.5 线性变换与矩阵 44
1.5.1 线性变换的矩阵 44
1.5.2 线性变换与矩阵的对应关系 47
1.5.3 线性变换的特征值与特征向量 50
习题1.5 53
1.6 线性空间的子空间 54
1.6.1 子空间及其判别 56
1.6.2 子空间的交与和 56
1.6.3 线性变换的不变子空间 59
习题1.6 60
第2章 内积空间 63
2.1 内积空间的定义与基本性质 63
习题2.1 68
2.2 标准正交基 68
习题2.2 72
2.3 欧氏空间 72
2.3.1 欧氏空间的度量矩阵 72
2.3.2 子空间的正交补 74
2.3.3 正交变换与对称变换 76
习题2.3 79
2.4 酉空间简介 81
第3章 矩阵的相似标准形 84
3.1 方阵相似于对角矩阵的条件 84
习题3.1 87
3.2 H-矩阵的相似对角化 88
习题3.2 91
3.3 矩阵的Jordan标准形 91
3.3.1 多项式矩阵及其初等变换 92
3.3.2 Jordan标准形的求法 94
习题3.3 99
3.4 Jordan形的应用 100
3.4.1 相似因子的求法 100
3.4.2 Jordan形应用举例 103
习题3.4 106
第4章 矩阵分解 107
4.1 矩阵的QR分解及满秩分解 107
4.1.1 矩阵的QR和UR分解 107
4.1.2 矩阵的满秩分解 110
习题4.1 113
4.2 矩阵的谱分解 114
习题4.2 119
4.3 正规矩阵的分解 119
习题4.3 123
4.4 矩阵的奇异值分解 124
习题4.4 130
第5章 广义逆矩阵 131
5.1 M-P广义逆 131
5.1.1 广义逆矩阵的概念 131
5.1.2 M-P广义逆 132
习题5.1 137
5.2 其他几种常用的广义逆矩阵 138
5.2.1 矩阵的｛1｝-逆 138
5.2.2 矩阵｛1，2｝-逆，｛1，3｝-逆及｛1，4｝-逆 139
习题5.2 141
5.3 广义逆矩阵在求解线性方程组中的应用 141
5.3.1 线性方程组的相容性及通解与｛1｝-逆 142
5.3.2 相容的线性方程组的极小范数解与矩阵的｛1，4｝-逆 144
5.3.3 矛盾方程组的最小二乘解与矩阵的｛1，3｝-逆 145
5.3.4 不相容的线性方程组的极小范数最小二乘解与矩阵的M-P广义逆 146
习题5.3 148
第6章 矩阵分析 149
6.1 向量与矩阵的范数 149
6.1.1 向量范数 149
6.1.2 矩阵范数 152
习题6.1 157
6.2 向量与矩阵序列的收敛性 158
习题6.2 162
6.3 矩阵的导数 162
6.3.1 函数矩阵对变量的导数 162
6.3.2 函数对矩阵的导数 165
6.3.3 矩阵对矩阵的导数 166
习题6.3 168
6.4 矩阵的微分与积分 169
第7章 矩阵函数 172
7.1 矩阵多项式 172
7.1.1 矩阵的最小多项式 172
7.1.2 矩阵多项式的计算 176
习题7.1 179
7.2 一般矩阵函数 180
7.2.1 矩阵函数的定义与性质 180
7.2.2 用Jordan标准形表达矩阵函数 181
7.2.3 用L-S多项式表达矩阵函数 184
习题7.2 188
7.3 用幂级数表示的矩阵函数 189
7.3.1 矩阵级数与矩阵幂级数的收敛性 189
7.3.2 用幂级数表达某些矩阵函数 193
习题7.3 196
第8章 特征值的估计 198
8.1 特征值界的估计 198
习题8.1 201
8.2 特征值所在区域的估计 201
习题8.2 204
8.3 H-矩阵特征值的表示 204
习题8.3 206
部分习题参考答案 207
参考文献 233
附录 多项式矩阵概述及Jordan定理的证明 234