第一编 积分学 3
1 积分 3
1.1一类无理函数积分 3
1.1.1 ？R［x，（ax+b）1/2，（cx+e）1/2］dx 3
1.1.2 ？R［x，（ax2+bx+c）1/2，（px2+qx+r）1/2］dx 6
1.1.3 ？R［x，（a1x2+b1x+c1）1/2，（a2x2+b2x+c2）1/2，（a3x2+b3x+c3）1/2］dx 11
1.2积分中值定理的改进 13
1.2.1 积分中值定理的改进 13
1.2.2积分中值定理的推广 15
1.2.3重积分中值定理 17
1.2.4两个不等式的猜测 19
1.3多重曲积分 21
1.3.1正交与半正交曲线族 21
1.3.2多重曲积分 22
1.4 曲面积分与曲面路径无关 24
1.4.1曲线积分与曲线路径无关的等价条件 24
1.4.2 曲面积分与曲面路径无关 25
1.5重积分化为定积分 29
1.6 平行截面曲线为已知的曲面积分 30
1.7格林公式的推广 35
1.8格拉斯曼法则的解释 42
1.8.1格拉斯曼法则 42
1.8.2格拉斯曼法则的解释 43
1.9第一类闭曲线（曲面）积分 47
1.9.1公式 47
1.9.2弧长、面积和体积的计算 48
1.10重积分的牛顿公式 50
1.10.1第一类牛顿公式 50
1.10.2第二类牛顿公式 52
1.11 隐函数曲线（曲面）积分可积的充分条件 53
1.11.1 隐函数曲线积分可积的充分条件 53
1.11.2隐函数曲面积分可积的充分条件 55
1.12多维积分 57
1.12.1段积分和点积分 57
1.12.2一维积分与拟牛顿公式 61
1.12.3二维积分 62
1.12.4三维积分 64
1.12.5统一公式 66
1.12.6 四维积分 70
2负导函数 74
2.1 引言 74
2.1.1基本问题 74
2.1.2导数公式 74
2.1.3原函数 75
2.2可导函数列 76
2.2.1若干记号的推广 76
2.2.2可导函数列 80
2.2.3定理 84
2.2.4幂函数导数的推广 90
2.3负导函数的应用 94
2.3.1基本积分表的证明 94
2.3.2积分公式的证明 98
2.3.3不定积分 99
2.3.4定积分 110
2.3.5微分方程 115
2.4负导函数的若干计算方法 116
2.4.1莱布尼兹公式的推广 116
2.4.2展开法 121
2.4.3代数法 122
2.4.4微商法 125
2.4.5数学归纳法 128
2.4.6级数法 128
2.4.7微分方程法 129
2.4.8实数的等比级数表示 129
第二编 多中心展开理论 135
3多中心泰勒定理 135
3.1泰勒定理 135
3.1.1泰勒的生平 135
3.1.2泰勒多项式 137
3.1.3泰勒定理 140
3.1.4泰勒定理的余项 144
3.1.5泰勒定理的辩证思想 148
3.2多中心泰勒多项式 149
3.3多中心罗尔定理 151
3.4多中心泰勒定理 155
3.5 函数的多中心泰勒展开 161
3.6二中心泰勒定理 163
3.7二中心泰勒边值定理 166
3.8高阶多中心泰勒定理 167
3.9不同形式的多中心泰勒定理 170
3.10多一中心泰勒定理 173
3.11复因式泰勒定理 176
3.12两个函数积的泰勒定理 180
4多中心泰勒定理的应用 185
4.1有理函数的分解 185
4.2有理函数的高阶导数 188
4.2.1有理函数的高阶导数 188
4.2.2有理函数高阶导数值的计算 189
4.2.3半有理函数高阶导数值的计算 190
4.3奥斯特洛格拉斯基公式的改进 191
4.4有理函数积分的公式解 195
4.5近似值 200
4.6不等式 202
4.7高阶导数的插值公式 203
4.8高阶多中心泰勒定理的应用 212
4.9最大值与最小值 214
5 多中心牛顿定理 217
5.1牛顿插值公式 217
5.2牛顿多项式 218
5.3牛顿定理 222
5.3.1 牛顿定理 222
5.3.2泰勒定理与牛顿定理的统一 226
5.4多中心牛顿多项式 228
5.5多中心牛顿定理 230
5.6泰勒－牛顿定理 237
5.7导数与微商的若干关系 240
6二元函数泰勒定理 249
6.1二元函数泰勒多项式 249
6.2二元函数泰勒插值公式 256
6.2.1二元函数拉格朗日插值公式 256
6.2.2低阶偏导数插值公式 261
6.2.3高阶偏导数插值公式 265
6.2.4三元函数插值公式 266
6.3二元函数泰勒定理 268
6.3.1二元函数一中心泰勒定理 268
6.3.2二元函数二中心泰勒定理 272
6.3.3二元函数三中心泰勒定理 278
6.3.4二元函数多中心泰勒定理 281
6.3.5复合泰勒定理 283
7二元函数牛顿定理 285
7.1二元函数牛顿多项式 285
7.2二元函数牛顿插值公式 292
7.3二元函数牛顿定理 294
8其他类型的泰勒定理 298
8.1双向泰勒定理 298
8.1.1双向泰勒定理 298
8.1.2双向泰勒级数 302
8.1.3负向泰勒定理 305
8.1.4双向泰勒定理的其他形式 310
8.1.5二元函数的双向泰勒定理 313
8.2有理幂泰勒定理 314
8.2.1有理阶导数 314
8.2.2有理幂泰勒定理 318
8.2.3二中心有理幂泰勒定理 321
8.2.4拟有理幂函数的积分 325
8.3复域上的多中心泰勒定理 326
8.4无穷个中心泰勒定理 333
8.4.1无穷个中心泰勒定理 333
8.4.2无穷个中心泰勒级数 336
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