第一章 基本概念 1
1.1 微分方程及其解的定义 1
1.2 微分方程及其解的几何解释 12
第二章 初等积分法 19
2.1 恰当方程 19
2.2 变量分离的方程 25
2.3 一阶线性方程 31
2.4 初等变换法 38
2.4.1 齐次方程 39
2.4.2 伯努利方程 41
2.4.3 里卡蒂方程 42
2.5 积分因子法 46
2.6 应用举例 52
第三章 存在和唯一性定理 63
3.1 皮卡存在和唯一性定理 63
3.2 佩亚诺存在定理 71
3.2.1 欧拉折线 71
3.2.2 Ascoli引理 74
3.2.3 佩亚诺存在定理 75
3.3 解的延伸 81
3.4 比较定理及其应用 89
4.1.1 微分法 99
第四章 奇解 99
4.1 一阶隐式微分方程 99
4.1.2 参数法 102
4.2 奇解 106
4.3 包络 111
4.4 奇解的存在定理 117
第五章 高阶微分方程 121
5.1 几个例子 121
5.2 n维线性空间中的微分方程 136
5.3 解对初值和参数的连续依赖性 141
5.4 解对初值和参数的连续可微性 148
第六章 线性微分方程组 157
6.1 一般理论 157
6.1.1齐 次线性微分方程组 158
6.1.2 非齐次线性微分方程组 164
6.2 常系数线性微分方程组 169
6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质 170
6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 172
6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵 175
6.2.4 待定指数函数法 177
6.3 高阶线性微分方程式 190
6.3.1 高阶线性微分方程的一般理论 192
6.3.2 常系数高阶线性微分方程 197
第七章 幂级数解法 207
7.1 柯西定理 207
7.2 幂级数解法 215
7.3 勒让德多项式 220
7.4 广义幂级数解法 225
7.5 贝塞尔函数 236
第八章 定性理论与分支理论初步 243
8.1 动力系统，相空间与轨线 243
8.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念 250
8.2 解的稳定性 250
8.2.2 按线性近似判断稳定性 252
8.2.3 李雅普诺夫第二方法 254
8.3 面上的动力系统，奇点与极限环 259
8.3.1 初等奇点 260
8.3.2 极限环 270
8.3.3 Liénard作图法 272
8.3.4 Poincaré映射与后继函数法 275
8.4 结构稳定与分支现象 277
8.4.1 一个大范围的结构稳定性定理 277
8.4.2 高阶奇点的分支 279
8.4.3 Hopf分支 280
8.4.4 Poincaré分支 281
8.4.5 多重闭轨的分支 282
8.4.6 同宿轨线的分支 283
8.4.7 奇异向量场的普适开折 286
第九章 边值问题 291
9.1 施图姆比较定理 291
9.2 S-L边值问题的特征值 298
9.3 特征函数系的正交性 307
9.4 一个非线性边值问题的例子 314
9.5 周期边值问题 319
10.1 首次积分的定义 323
第十章 首次积分 323
10.2 首次积分的性质 329
10.3 首次积分的存在性 335
10.4 大范围的首次积分 338
第十一章 一阶偏微分方程 343
11.1 一阶齐次线性偏微分方程 343
11.2 一阶拟线性偏微分方程 347
11.3 几何解释 353
参考文献 360
习题答案与提示 362