第一章 函数、极限与连续 1
第一节 函数 1
一、区间、邻域 1
二、常量与变量 3
三、函数的概念 3
四、函数的几种性态 7
习题1-1 10
第二节 初等函数 13
一、反函数 13
二、基本初等函数 14
三、复合函数 14
四、初等函数 17
习题1-2 18
第三节 数列的极限 19
一、数列极限的定义 20
二、数列极限的性质 24
三、数列极限的两个存在准则 29
习题1-3 32
第四节 函数的极限 34
一、自变量x趋于无穷大时函数的极限 34
二、自变量x趋于有限值时函数的极限 36
三、函数极限的性质 40
习题1-4 44
第五节 两个重要极限及复合函数的极限运算法则 46
一、夹逼准则 46
二、两个重要极限 47
三、复合函数的极限运算法则 50
习题1-5 52
第六节 无穷小、无穷大 53
一、无穷小及其性质 53
二、无穷小的比较 54
三、无穷大 56
四、无穷小与无穷大的关系 57
习题1-6 59
第七节 函数的连续性 60
一、函数的连续与间断 60
二、连续函数及其性质 64
三、闭区间上连续函数的性质 66
习题1-7 68
第二章 一元函数微分学 71
第一节 导数的概念 71
一、导数概念的引出 71
二、导数的定义 73
三、求导举例及基本导数公式 76
习题2-1 82
第二节 求导法则 83
一、四则运算法则 83
二、反函数求导法则 87
三、复合函数求导法则 90
习题2-2 93
第三节 隐函数求导法、参数方程所确定的函数的导数 95
一、隐函数求导法 95
二、参数方程所确定的函数的导数 97
习题2-3 99
第四节 高阶导数与相关变化率 100
一、高阶导数 100
二、相关变化率 103
习题2-4 104
第五节 函数的微分及其在近似计算中的应用 105
一、微分的定义 106
二、微分公式与运算法则 107
三、微分在近似计算中的应用 110
习题2-5 112
第六节 微分中值定理 114
一、罗尔定理 114
二、拉格朗日中值定理 116
三、柯西中值定理 121
习题2-6 122
第七节 洛必达法则 123
习题2-7 127
第八节 泰勒公式 128
习题2-8 134
第九节 函数的单调性、极值与最值 136
一、函数的单调性 136
二、函数的极值 137
三、最值问题 140
习题2-9 143
第十节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 145
一、曲线的凹凸性 145
二、函数图形的描绘 148
习题2-10 150
第十一节 弧微分与曲率 151
一、弧微分 151
二、曲率 152
三、曲率圆与曲率半径 155
习题2-11 156
第十二节 方程的近似解 157
一、二分法 157
二、弦位法 157
三、牛顿切线法 159
习题2-12 160
第三章 一元函数积分学 161
第一节 不定积分的概念与性质 161
一、微分的逆问题 161
二、原函数与不定积分 162
三、基本积分公式 165
四、不定积分的性质 166
习题3-1 168
第二节 换元积分法 169
一、第一类换元法 169
二、第二类换元法 174
习题3-2 179
第三节 分部积分法 181
习题3-3 185
第四节 两类特殊类型函数的积分 185
一、有理函数的积分 185
二、三角函数有理式的积分 190
习题3-4 193
第五节 定积分的概念及性质 194
一、引例 194
二、定积分定义 198
三、定积分的性质 200
习题3-5 203
第六节 原函数存在性及牛顿-莱布尼兹公式 204
一、变上限定积分及其导数 204
二、牛顿-莱布尼兹公式 206
习题3-6 210
第七节 定积分的计算 212
一、定积分的换元积分法 212
二、定积分的分部积分法 217
三、定积分的近似计算 219
习题3-7 224
第八节 广义积分 226
一、无穷区间上的积分 226
二、无界函数的积分 228
习题3-8 231
第九节 定积分在几何方面的应用 231
一、定积分的元素法 232
二、定积分在几何方面的应用 234
习题3-9 243
第十节 定积分在物理学上的应用举例 244
一、变力沿直线所做的功 244
二、液体的压力 246
三、引力 247
四、电学上的应用 248
习题3-10 251
第四章 微分方程与数学建模初步 253
第一节 微分方程的基本概念 253
习题4-1 256
第二节 变量可分离方程 257
一、变量可分离方程 257
二、齐次方程 260
习题4-2 263
第三节 一阶线性微分方程 265
一、一阶线性微分方程 265
二、可化为一阶线性微分方程的两个类型 268
习题4-3 271
第四节 几种特殊的高阶方程 273
习题4-4 278
第五节 高阶线性微分方程解的结构理论 279
一、齐次线性方程解的结构理论 279
二、非齐次线性方程解的结构理论 280
习题4-5 281
第六节 常系数齐次线性微分方程 281
习题4-6 285
第七节 常系数非齐次线性微分方程 286
一、f(x)=P？(x)λr型 287
二、f(x)=eλrP？(xcosωx)+P？(x)sinωx］型 289
三、一类可化为二阶常系数线性方程的类型——欧拉方程 291
习题4-7 294
第八节 常系数线性微分方程组 296
一、消元法 296
二、待定系数法 298
三、首次积分法 301
习题4-8 305
第九节 数学建模初步 306
一、数学建模的基本概念 306
二、数学建模的一般步骤与方法 308
三、建模实例 310
习题4-9 315
附录Ⅰ 几种常用的曲线 316
附录Ⅱ 习题答案或提示 319