第1章 绪论与预备知识 1
1.1 泛函分析的产生 1
1.2 泛函分析的特点和内容及应用 2
1.3 可列集与不可列集 3
1.3.1 映射 3
1.3.2 可列集与不可列集，集合的势 4
1.4 直线上的点集与连续函数 7
1.4.1 开集、闭集及其性质 7
1.4.2 开集的构造 9
1.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 11
1.4.4 函数列的一致收敛性 12
1.5 点集的勒贝格测度与可测函数 15
1.5.1 从黎曼积分到勒贝格积分 15
1.5.2 点集的勒贝格测度 18
1.5.3 可测函数 22
1.6 勒贝格积分 25
1.6.1 勒贝格积分的定义及其基本性质 25
1.6.2 积分序列的极限定理 30
习题1 35
第2章 度量空间 37
2.1 度量空间的基本概念 37
2.2 度量空间中的开集、闭集与连续映射 44
2.2.1 度量空间中的开集与闭集 44
2.2.2 度量空间上的连续映射 46
2.3 度量空间的可分性与完备性 48
2.3.1 度量空间的可分性 48
2.3.2 度量空间的完备性 49
2.3.3 度量空间的完备化 51
2.4 压缩映射原理及其应用 51
2.5 列紧性与紧性 55
习题2 60
第3章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子 61
3.1 线性赋范空间与巴拿赫空间 61
3.1.1 线性空间 62
3.1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间 65
3.1.3 线性赋范空间的基本性质 66
3.1.4 有限维线性赋范空间 67
3.2 有界线性算子与有界线性泛函 70
3.2.1 有界线性算子的定义及性质 70
3.2.2 线性算子空间 73
3.2.3 有界线性泛函与共轭空间 75
3.3 内积空间与希尔伯特空间 82
3.3.1 内积空间、希尔伯特空间的定义 82
3.3.2 正交分解与投影定理 84
3.3.3 希尔伯特空间中的正交系 89
3.3.4 可分希尔伯特空间及同构性 94
3.3.5 希尔伯特空间的自共轭性 96
3.4 共轭算子与自共轭算子 98
3.4.1 巴拿赫空间中的共轭算子 98
3.4.2 希尔伯特空间的自共轭空间算子 100
习题3 102
第4章 泛函分析基本定理与谱论简介 104
4.1 巴拿赫空间的基本定理 104
4.1.1 半序集-佐恩引理 104
4.1.2 汉恩-巴拿赫定理 106
4.1.3 一致有界定理 107
4.1.4 巴拿赫逆算子定理与闭图像定理 108
4.1.5 弱收敛 114
4.2 谱论简介 119
4.2.1 谱的概念及性质 120
4.2.2 黎斯-箫德尔理论简介 123
4.2.3 自共轭算子谱论初步 124
习题4 127
第5章 非线性分析初步 129
5.1 微分理论 129
5.2 不动点理论 133
5.3 动力系统 139
5.4 凸集与凸分析理论初步 143
5.5 极值理论 148
5.6 拓扑度理论简介 152
5.6.1 引言 152
5.6.2 拓扑度的概念 153
5.6.3 Brouwer度的应用 155
5.6.4 Leray-Schander度 156
5.6.5 Leray-Schander度的应用 158
5.7 Sobolev空间简介 159
参考文献 164