第1章 整数的因子分解 1
1.1唯一分解定理 1
1.2辗转相除法（欧氏除法） 3
1.3 Mersenne素数和 Fermat素数 6
1.4整系数多项式 8
1.5环Z[i]和Z[ω] 11
习题 12
第2章 同余式 14
2.1孙子定理 14
2.2剩余类环 16
2.3 Euler函数？（m） 18
2.4同余方程 20
2.5原根 25
2.6缩系的构造 28
习题 31
第3章 二次剩余 33
3.1定义及Euler判别条件 33
3.2 Legendre符号 34
3.3 Jacobi符号 39
3.4二次剩余假设 41
习题 47
第4章 特征 48
4.1剩余系的表示 48
4.2特征 49
4.3原特征 53
4.4特征和 55
4.5 Gauss和 58
习题 60
第5章 连分数 61
5.1简单连分数 61
5.2用连分数表实数 63
5.3最佳渐近分数 65
5.4 Legendre判别条件 66
习题 68
第6章 代数数域 69
6.1代数整数 69
6.2 Dedekind整环 75
6.3阶的一些性质 84
习题 89
第7章 椭圆曲线 92
7.1椭圆曲线的群结构 92
7.1.1 Weierstrass方程 92
7.1.2椭圆曲线上的加法 93
7.1.3同构与j不变量 96
7.2除子类群 98
7.3同种映射 100
7.4 Tate模和Weil对 105
7.5有限域上的椭圆曲线 110
习题 113
第8章 密码学中的一些应用 114
8.1 RSA公钥密码 114
8.2 Diffie-Hellman体制 116
8.3 ElGamal算法 117
8.4基于背包问题的公钥密码 118
8.5概率公钥密码 119
8.6秘密共享 122
第9章 素性检验 124
9.1 Fermat小定理及伪素数 124
9.2强伪素数及Miller-Rabin检验 125
9.3利用n-1的因子分解的素性检验 128
9.4利用n＋1的因子分解的素性检验 129
9.5分圆环素性检验 132
9.6基于椭圆曲线的素性检验 136
第10章 大整数因子分解算法 138
10.1连分数因子分解算法 138
10.2二次筛法 140
10.3 Pollard的p-1因子分解算法 141
10.4椭圆曲线因子分解算法 141
10.5数域筛法 143
习题 157
第11章 椭圆曲线上的离散对数 158
11.1椭圆曲线公钥密码 158
11.2小步-大步法 161
11.3家袋鼠和野袋鼠 162
11.4 MOV约化 163
11.5 FR约化 168
11.6 SSSA约化 172
11.7有限域上离散对数的计算 175
第12章 超椭圆曲线 184
12.1超椭圆曲线的Jacobian 184
12.2虚二次代数函数域 187
12.3基于超椭圆曲线的公钥密码 189
第13章格 190
13.1基本概念 190
13.2 LLL算法 195
13.3 LLL算法在密码分析中的应用 202
13.3.1背包问题求解 202
13.3.2 针对RSA密码算法的小解密指数攻击 203
13.4基于格的密码体制设计 206
13.4.1 NTRU体制 207
13.4.2基于LWE问题的全同态加密体制 208
习题 213
附录 一些常用算法 214
A.1不可约多项式的判别 214
A.2有限域中平方根的求解 215
A.3有限域上的分解 216
A.4 Hensel引理 218
A.5 Z[x]中多项式的分解 219
参考文献 221
名词索引 225
《现代数学基础丛书》已出版书目 229