第1章 基础知识 1
1.1 Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子 1
1.1.1 度量空间 1
1.1.2 线性算子与线性泛函 4
1.1.3 核算子与Hilbert-Schmit算子 7
1.2 Sobolev空间 10
1.2.1 广义导数与Sobolev空间 11
1.2.2 Sobolev空间嵌入定理 14
1.2.3 迹定理 15
1.2.4 Sobolev空间中的等价模定理 17
1.2.5 Sobolev空间中的内插理论 18
1.2.6 Gronwall引理 19
1.3 算子半群 21
1.3.1 抽象函数 21
1.3.2 算子半群基本概念 25
1.3.3 C0半群 26
1.3.4 解析半群与算子的分数次幂 31
1.3.5 半群的扰动和逼近 33
1.4 有限元方法基本理论 35
1.4.1 变分原理 35
1.4.2 有限元离散与插值误差估计 39
1.4.3 发展方程的有限元方法 45
1.5 随机积分 46
1.5.1 概率空间 46
1.5.2 随机变量与Bochner积分 48
1.5.3 条件期望与独立性 52
1.5.4 Gaussian测度 53
1.5.5 随机过程与鞅 54
1.5.6 关于Q-Wiener过程的随机积分 57
第2章 随机抛物方程有限元方法 63
2.1 抛物方程有限元方法理论分析 63
2.1.1 空间半离散格式的误差估计 63
2.1.2 全离散格式的有限元误差估计 69
2.2 自伴算子随机抛物方程有限元方法 72
2.2.1 空间半离散格式的误差估计 72
2.2.2 全离散格式的有限元误差估计 76
2.3 非自伴算子随机抛物方程有限元方法 83
2.3.1 空间半离散格式的误差估计 83
2.3.2 全离散格式的有限元误差估计 93
2.4 研究进展评述 99
第3章 随机Navier-Stokes方程的有限元分析与后验误差估计 103
3.1 方程的理论分析 103
3.2 有限元误差估计 105
3.2.1 时间半离散格式的误差估计 105
3.2.2 全离散格式的有限元误差估计 118
3.3 后验误差估计 124
3.3.1 加权Clement-type插值算子 124
3.3.2 空间半离散格式的后验误差估计 127
3.3.3 全离散格式的后验误差估计 135
3.4 研究进展评述 141
第4章 随机弹性方程有限元方法 143
4.1 弹性方程有限元方法理论分析 143
4.1.1 弹性方程解的定性分析 143
4.1.2 基于C1元的弹性方程半离散有限元方法 146
4.1.3 基于C1元的弹性方程全离散有限元方法 148
4.1.4 基于C0元的弹性方程半离散有限元方法 151
4.1.5 基于C0元的弹性方程全离散有限元方法 154
4.2 带有Q-Wiener过程噪声项的随机弹性方程有限元方法 157
4.2.1 随机弹性方程解的性质 157
4.2.2 基于C1元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 159
4.2.3 基于C1元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 162
4.2.4 基于C0元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 165
4.2.5 基于C0元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 166
4.2.6 随机弹性方程有限元方法的弱误差估计 168
4.3 带有Brownian片噪声项的随机波动方程和随机弹性方程有限元方法 173
4.3.1 两类随机双曲方程的统一表示形式 173
4.3.2 方程的正则化 175
4.3.3 正则化方程误差估计 176
4.3.4 随机指数积分法 180
4.3.5 全离散有限元逼近 183
4.4 研究进展评述 192
第5章 随机椭圆型方程有限元方法 195
5.1 椭圆方程的Green函数 195
5.2 随机椭圆方程有限元方法 198
5.2.1 方程的正则化 199
5.2.2 有限元误差估计 204
5.3 随机Stokes方程非协调有限元方法 206
5.3.1 随机Stokes方程Green函数的性质 206
5.3.2 白噪声的正则化 210
5.3.3 非协调有限元逼近 213
5.4 研究进展评述 218
第6章 随机积分微分方程有限元方法 221
6.1 随机积分微分方程的理论分析 221
6.1.1 问题的陈述 221
6.1.2 积分微分方程的预解系 223
6.1.3 随机积分微分方程温和解的存在性和唯一性 227
6.2 空间半离散格式的误差估计 230
6.3 全离散格式的有限元误差估计 235
6.4 研究进展评述 242
参考文献 243