第1章 绪论 1
1.1 几个基本概念 1
1.1.1 线性与非线性方程 1
1.1.2 线性与非线性微分方程 1
1.1.3 偏微分方程的分类 1
1.1.4 偏微分方程的解及其叠加性 2
1.2 非线性演化方程概览 3
1.3 非线性演化方程的局域结构 6
1.3.1 1＋1维非线性演化方程的孤子结构 6
1.3.2 2＋1维非线性演化方程的相干结构 14
1.3.3 3＋1维非线性演化方程的相干结构 19
1.4 几类非线性演化方程的导出 20
1.4.1 柱坐标系下变系数KP方程的导出 20
1.4.2 DS方程的导出 23
1.4.3 3＋1维非线性薛定谔方程的导出 28
第2章 非线性演化方程研究方法概述 34
2.1 基本方法简述 34
2.2 多线性分离变量法 38
2.3 基于直接代数法的分离变量法 40
第3章 齐次平衡法构造分离变量解 42
3.1 齐次平衡法概述 42
3.2 1＋1维非线性演化方程的分离变量解 43
3.3 2＋1维非线性演化方程的分离变量解 46
3.4 3＋1维非线性演化方程的分离变量解 56
第4章 Riccati方程映射法构造分离变量解 59
4.1 Riccati方程映射法概述 59
4.2 1＋1维非线性演化方程的分离变量解 62
4.3 2＋1维非线性演化方程的分离变量解 66
4.3.1 幂次形式预解求分离变量解 66
4.3.2 对称形式预解求分离变量解 76
4.3.3 根号形式预解求分离变量解 80
4.4 3＋1维非线性演化方程的分离变量解 86
第5章 投影Riccati方程映射法构造分离变量解 89
5.1 投影Riccati方程映射法概述 89
5.2 1＋1维非线性演化方程的分离变量解 91
5.3 2＋1维非线性演化方程的分离变量解 96
5.4 3＋1维非线性演化方程的分离变量解 105
第6章 两种扩展方法构造分离变量解 107
6.1 扩展Riccati方程映射法构造分离变量解 107
6.1.1 方法概述 107
6.1.2 扩展形式一 108
6.1.3 扩展形式二 113
6.1.4 扩展形式三 121
6.2 扩展投影Riccati方程映射法构造分离变量解 123
6.2.1 方法概述 123
6.2.2 扩展形式一 125
6.2.3 扩展形式二 127
第7章 各种方法构造分离变量解的联系 131
7.1 Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系 131
7.1.1 幂次形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系 131
7.1.2 对称形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系 131
7.1.3 根号形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系 132
7.2 投影Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系 132
7.3 扩展Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系 133
7.3.1 扩展形式一的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系 133
7.3.2 扩展形式二的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系 133
7.3.3 扩展形式三的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系 134
7.3.4 不同Riccati方程的相互转化关系 134
7.4 扩展投影Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系 135
7.4.1 扩展形式一的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系 135
7.4.2 扩展形式二的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系 135
第8章 非线性分离变量法需注意的几个问题 136
8.1 非线性分离变量法不能求解一些典型方程 136
8.2 一些非线性演化方程的分离变量解构建局域激发需注意的问题 136
8.2.1 非传播孤子构建需注意的问题 137
8.2.2 周期波结构构建需注意的问题 141
参考文献 148