第八章 多元函数的微分学 1
第一节 多元函数的极限与连续性 1
一、区域 1
二、多元函数概念 2
三、多元函数的极限 4
四、多元函数的连续性 5
练习8-1 7
第二节 偏导数 8
一、偏导数的定义及计算 8
二、高阶偏导数 10
练习8-2 12
第三节 全微分 13
一、全微分的定义 13
二、全微分在近似计算中的应用 15
练习8-3 16
第四节 多元复合函数的求导法则 17
练习8-4 20
第五节 隐函数的求导公式 21
一、一个方程的情形 21
二、方程组的情形 23
练习8-5 25
第六节 微分法在几何上的应用 25
一、空间曲线的切线与法平面 25
二、曲面的切平面与法线 28
练习8-6 30
第七节 方向导数和梯度 30
一、方向导数 30
二、梯度 32
练习8-7 33
第八节 极值与条件极值 34
一、多元函数的极值及最大值、最小值 34
二、条件极值 37
三、最小二乘法 39
练习8-8 41
第九节 二元函数的泰勒公式 42
练习8-9 44
进一步说明 44
习题八 45
第九章 重积分 49
第一节 二重积分 49
一、二重积分的概念 49
二、二重积分的计算 52
练习9-1 62
第二节 三重积分 63
一、三重积分的概念 63
二、三重积分的计算 64
练习9-2 70
第三节 重积分的应用 71
一、在几何方面的应用 71
二、在力学中的应用 72
练习9-3 75
进一步说明 76
习题九 76
第十章 曲线积分与曲面积分 78
第一节 第一类曲线积分 78
一、第一类曲线积分的概念与性质 78
二、第一类曲线积分的计算方法 79
练习10-1 81
第二节 第二类曲线积分 81
一、第二类曲线积分的概念与性质 81
二、第二类曲线积分的计算方法 82
三、两类曲线积分之间的关系 85
练习10-2 86
第三节 格林公式及其应用 86
一、格林（Green）公式 86
二、格林公式的应用——四个等价命题 89
练习10-3 90
第四节 第一类曲面积分 91
一、第一类曲面积分的概念与性质 91
二、第一类曲面积分的计算方法 92
练习10-4 93
第五节 第二类曲面积分 94
一、有向曲面及其在坐标面上的投影 94
二、第二类曲面积分的概念与性质 94
三、第二类曲面积分的计算方法 96
四、两类曲面积分之间的关系 97
练习10-5 98
第六节 高斯公式 通量与散度 99
一、高斯（Gauss）公式 99
二、通量与散度 101
三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 101
练习10-6 102
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 102
一、斯托克斯（Stokes）公式 102
二、环流量与旋度 104
三、空间曲线积分与路径无关的条件 105
练习10-7 106
进一步说明 106
习题十 108
第十一章 无穷级数 109
第一节 常数项级数的概念与性质 109
一、常数项级数的概念 109
二、收敛级数的基本性质 111
练习11-1 112
第二节 常数项级数的审敛法 113
一、正项级数及其审敛法 113
二、交错级数及其审敛法 117
三、绝对收敛与条件收敛 118
练习11-2 119
第三节 幂级数 120
一、函数项级数的概念 120
二、幂级数及其收敛性 121
三、幂级数的运算 124
练习11-3 126
第四节 函数展开成幂级数 127
一、泰勒级数 127
二、函数展开成幂级数 128
练习11-4 132
第五节 函数幂级数展开式的应用 132
练习11-5 134
第六节 傅里叶（Fourier）级数 135
一、三角函数系的正交性 135
二、函数展开成傅里叶级数 136
练习11-6 139
第七节 正弦级数和余弦级数 140
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 140
二、函数展开成正弦级数与余弦级数 142
练习11-7 143
第八节 以2l为周期的函数的傅里叶级数 143
练习11-8 145
进一步说明 146
习题十一 146
第十二章 微分方程 147
第一节 微分方程的基本概念 147
练习12-1 149
第二节 可分离变量的微分方程 150
练习12-2 154
第三节 齐次方程 155
一、齐次方程 155
二、可齐次化的方程 158
练习12-3 160
第四节 一阶线性微分方程 161
一、一阶线性方程 161
二、伯努利方程 164
三、变量替换法的灵活运用 164
练习12-4 165
第五节 全微分方程 166
一、全微分方程 166
二、积分因子 169
练习12-5 171
第六节 可降阶的高阶微分方程 172
一、y(n)=f（x）型的微分方程 172
二、y″=f（x,y′）型的微分方程 173
三、y″=f（y,y′）型的微分方程 175
练习12-6 177
第七节 高阶线性微分方程 177
一、二阶齐次线性方程的通解 178
二、二阶非齐次线性方程的通解 179
三、二阶非齐次线性方程的常数变易法 180
四、降阶法 181
练习12-7 183
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 184
练习12-8 187
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 187
练习12-9 193
第十节 欧拉方程 193
练习12-10 194
第十一节 微分方程的幂级数解法 194
练习12-11 199
第十二节 常系数线性微分方程组解法举例 199
练习12-12 202
进一步说明 203
习题十二 204
第十三章 数学模型与实验 206
模型1 放稳椅子 206
模型2 雨中行走问题 207
模型3 扫雪的速度问题 208
模型4 积木能搭多远？ 209
模型5 溶液混合问题 209
模型6 香烟过滤嘴的作用 210
模型7 古物年代测定法 214
模型8 抵押贷款问题 215
实验1 飞机安全降落曲线 217
实验2 梯子长度问题 219
进一步说明 221
第十四章 数值方法 222
第一节 方程求根的近似方法 222
一、二分法 222
二、简单迭代 223
三、牛顿法 223
练习14-1 224
第二节 定积分的近似计算 224
练习14-2 225
第三节 常微分方程的差分法 225
进一步说明 226
习题十四 227
关于进一步阅读的建议 228
主要数学概念中英文对照表 229
练习题答案与提示 230
参考文献 248