第一章 数学物理方程概述 1
1偏微分方程举例和基本概念 1
1.1偏微分方程举例 1
1.2基本概念 2
2方程及定解问题的物理推导 3
2.1弦振动方程 3
2.2薄膜平衡方程 5
2.3热传导方程 7
2.4定解条件和定解问题 10
3两个重要原理 13
3.1杜阿梅尔原理 13
3.2叠加原理 16
习题一 18
第二章 分离变量法和积分变换法 20
1齐次方程的第一初边值问题 20
1.1有界弦的自由振动 20
1.2解的物理意义 25
1.3热传导方程的第一初边值问题 26
2齐次方程的第二初边值问题 28
2.1热传导方程的第二齐边值问题 28
2.2弦振动方程的第二初边值问题 30
3二维拉普拉斯方程 32
3.1圆域内的第一边值问题 32
3.2圆域外的第一边值问题 35
4非齐次定解问题的解法 36
4.1非齐次方程的求解 36
4.2非齐次边界条件的处理 40
4.3特殊的方程非齐次项处理 41
5积分变换法 43
5.1傅里叶变换法 43
5.2拉普拉斯变换法 50
习题二 53
第三章 行波法 56
1弦振动方程的初值问题 56
1.1达朗贝尔公式 56
1.2达朗贝尔解的物理意义 58
1.3二阶偏微分方程的分类 59
2高维齐次波动方程 63
2.1三维波动方程（平均值法） 63
2.2二维波动方程（降维法） 65
2.3泊松公式的物理意义 66
3非齐次波动方程 68
习题三 70
第四章 格林函数法 72
1拉普拉斯方程边值问题的提法 72
2调和函数 74
2.1格林公式 74
2.2拉普拉斯方程的对称解 75
2.3调和函数的基本性质 76
3格林函数 80
3.1格林函数的定义 80
3.2格林函数的性质和物理意义 81
4几类特殊区域问题的求解 82
习题四 85
第五章 勒让德多项式 87
1勒让德方程的导出 87
2勒让德方程的幂级数解 88
3勒让德多项式 91
4勒让德多项式的母函数及其递推公式 93
4.1勒让德多项式的母函数 93
4.2勒让德多项式的递推公式 95
5勒让德多项式的正交性 96
6勒让德多项式的应用 98
习题五 102
第六章 贝塞尔函数 104
1贝塞尔方程的导出 104
2贝塞尔方程的级数解 105
2.1贝塞尔方程的求解 105
2.2贝塞尔方程的通解 108
3贝塞尔函数的母函数及递推公式 109
3.1贝塞尔函数的母函数 109
3.2贝塞尔函数的递推公式 110
4函数展成贝塞尔函数的级数 113
4.1贝塞尔函数零点的性质 114
4.2贝塞尔函数的正交性和归一性 114
4.3展开定理的叙述 116
5贝塞尔函数的应用 117
习题六 121
第七章 变分法 123
1泛函和泛函的极值问题 123
1.1基本概念 123
1.2变分法基本引理 125
1.3泛函极值的必要条件 125
1.4泛函极值的充分条件 129
2泛函的条件极值问题 131
2.1泛函的条件极值及其必要条件 131
2.2应用举例 133
3变分法应用 135
3.1泛函极值问题与边值问题 135
3.2泛函极值问题的近似解法 137
习题七 140
第八章 数学物理方程的有限差分法 142
1差分方程的构造 142
2调和方程的差分格式 144
3热传导方程的差分格式 146
4波动方程的差分格式 148
习题八 150
第九章 定解问题的适定性 151
1适定性的概念 151
2古典解的存在性 152
3古典解的唯一性和稳定性 154
3.1能量积分 155
3.2古典解的唯一性 156
3.3古典解的稳定性 157
习题九 158
附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论 160
附录Ⅱ Γ函数的定义和基本性质 162
部分习题参考答案 164
参考文献 169