第一部分 高等数学 3
第一章 函数 极限 连续 3
大纲解读 3
考试内容 3
考试要求 3
大纲知识点精解 3
1函数 3
考点梳理 3
一、基本概念 3
二、重要性质、公式与结论 6
例题解析 7
题型一 求函数的定义域与函数表达式 7
题型二 函数的性质 8
2极限 9
考点梳理 9
一、基本概念 9
二、重要性质、公式与结论 11
例题解析 14
题型一 求函数极限 14
题型二 求数列极限 19
题型三 无穷小的比较 22
题型四 已知极限或无穷小求待定参数 24
3函数的连续与间断 25
考点梳理 25
一、基本概念 25
二、重要性质、公式与结论 26
例题解析 27
题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断 27
题型二 分段函数的连续性 28
题型三 由极限定义的函数的连续性 29
题型四 连续函数的零点问题 30
题型五 综合题 31
第二章 一元函数微分学 36
大纲解读 36
考试内容 36
考试要求 36
大纲知识点精解 37
1导数与微分 37
考点梳理 37
一、基本概念 37
二、重要性质、公式与结论 38
例题解析 38
题型一 利用导数与微分的定义解题 38
题型二 可微、可导、连续与极限的关系 41
题型三 导数的物理、几何应用 41
2导数的计算 42
考点梳理 42
重要性质、公式与结论 42
例题解析 44
题型一 利用导数公式与运算法则求导 44
题型二 求分段函数导数或微分 45
题型三 幂指函数的导数或微分 46
题型四 由参数方程确定的函数的导数 46
题型五 隐函数求导 47
题型六求n阶导数 47
3利用导数研究函数的性态 49
考点梳理 49
一、基本概念 49
二、重要性质、公式与结论 50
例题解析 51
题型一 求曲率与曲率半径 51
题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值 52
题型三 函数的凹凸性与拐点 53
题型四 求曲线的切线、法线和渐近线 55
题型五 综合题 56
4微分中值定理、零点问题与不等式证明 58
考点梳理 58
重要的性质、公式与结论 58
例题解析 60
题型一 函数零点的存在性与个数问题 60
题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题 62
题型三 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题 65
题型四 不等式证明 66
第三章 一元函数积分学 74
大纲解读 74
考试内容 74
考试要求 74
大纲知识点精解 74
1不定积分与定积分的概念与性质 74
考点梳理 74
一、基本概念 74
二、重要性质、公式与结论 75
例题解析 77
2不定积分与定积分的计算 79
考点梳理 79
重要性质、公式与结论 79
例题解析 81
题型一 有理函数的积分 81
题型二 无理函数的积分 81
题型三 三角相关函数的积分 82
题型四 乘积的混合式积分 84
题型五 分段函数与绝对值函数的积分 86
题型六 变限积分问题 88
3反常积分 90
考点梳理 90
一、基本概念 90
二、重要性质、公式与结论 91
例题解析 92
题型一 反常积分的计算 92
题型二 判定反常积分的敛散性 93
4定积分的应用 95
考点梳理 95
重要性质、公式与结论 95
例题解析 96
题型一 几何应用 96
题型二 物理应用 99
5 定积分的证明题 100
例题解析 100
题型一 等式的证明 100
题型二 不等式的证明 101
第四章 多元函数微积分学 115
大纲解读 115
考试内容 115
考试要求 115
大纲知识点精解 115
1多元函数的极限与连续性 115
考点梳理 115
一、基本概念 115
二、重要性质、公式与结论 116
例题解析 116
题型一 二元函数的概念 116
题型二 二元函数的极限 117
2偏导数与全微分 118
考点梳理 118
一、基本概念 118
二、重要性质、公式与结论 119
例题解析 119
题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算 119
题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系 121
3多元函数求导法则 124
考点梳理 124
重要性质、定理、公式 124
例题解析 125
题型一 求复合函数的偏导数与全微分 125
题型二 求隐函数的偏导数与全微分 129
4多元函数的极值与最值 133
考点梳理 133
一、基本概念 133
二、重要性质、定理、公式 134
例题解析 135
题型一 求解多元函数的无条件极值 135
题型二 求解多元函数的条件极值 138
题型三 求解多元函数的最值 139
5二重积分 142
考点梳理 142
一、基本概念 142
二、重要性质、公式与结论 142
例题解析 146
题型一 二重积分的概念和性质 146
题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算 146
题型三 二次积分交换积分次序 152
题型四 利用对称性计算二重积分 154
第五章 微分方程 163
大纲解读 163
考试内容 163
考试要求 163
大纲知识点精解 163
1一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法 163
考点梳理 163
一、基本概念 163
二、重要定理、性质与公式 164
例题解析 165
题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解 165
题型二 一阶线性微分方程 166
题型三 可降解的高阶微分方程的求解 167
2 高阶线性微分方程 169
考点梳理 169
一、基本概念 169
二、重要定理、性质与公式 169
例题解析 171
题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定 171
题型二 求解二阶线性微分方程 172
3微分方程的应用 173
考点梳理 173
重要定理、性质与公式 173
例题解析 173
第二部分 线性代数 185
第一章 行列式 185
大纲解读 185
考试内容 185
考试要求 185
大纲知识点精解 185
考点梳理 185
一、基本概念 185
二、重要性质、公式与结论 186
例题解析 188
题型一 行列式的概念及性质 188
题型二 数字型行列式的计算 190
题型三 抽象行列式的计算 194
题型四 有关|A|=0的证明 195
第二章 矩阵 199
大纲解读 199
考试内容 199
考试要求 199
大纲知识点精解 199
1矩阵的概念及运算 199
考点梳理 199
一、基本概念 199
二、重要性质、公式与结论 201
2可逆矩阵与伴随矩阵 202
考点梳理 202
一、基本概念 202
二、重要性质、公式与结论 203
3矩阵的初等变换 204
考点梳理 204
一、基本概念 204
二、重要性质、公式与结论 204
4分块矩阵 205
考点梳理 205
一、基本概念 205
二、重要性质、公式与结论 205
例题解析 206
题型一 矩阵的概念及运算 206
题型二 求方阵的幂 207
题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算 209
题型四 伴随矩阵 211
题型五 矩阵的初等变换 213
题型六 分块矩阵 214
题型七 求解矩阵方程 216
第三章 向量 224
大纲解读 224
考试内容 224
考试要求 224
大纲知识点精解 224
1向量与向量组的线性相关性 224
考点梳理 224
一、基本概念 224
二、重要定理、性质、公式 225
例题解析 226
题型一 线性相关性的判别与证明 226
题型二 向量与向量组的线性表出 229
2极大线性无关组与向量组的秩 232
考点梳理 232
一、基本概念 232
二、重要定理、性质、公式 233
例题解析 234
题型一 矩阵的秩 234
题型二 向量组的秩与极大线性无关组 235
题型三 向量组的等价 237
3内积与施密特正交化 239
考点梳理 239
一、基本概念 239
二、重要定理、性质、公式 240
例题解析 241
第四章 线性方程组 246
大纲解读 246
考试内容 246
考试要求 246
大纲知识点精解 246
1齐次线性方程组 246
考点梳理 246
一、基本概念 246
二、重要性质、公式与结论 247
2非齐次线性方程组 249
考点梳理 249
一、基本概念 249
二、重要性质、公式与结论 249
例题解析 250
题型一 线性方程组解的判定、性质与结构 250
题型二 求解齐次线性方程组 254
题型三 求解非齐次线性方程组 257
题型四 两方程组的公共解与同解问题 266
第五章 矩阵的特征值和特征向量 274
大纲解读 274
考试内容 274
考试要求 274
大纲知识点精解 274
1特征值与特征向量 274
考点梳理 274
一、基本概念 274
二、重要性质、公式与结论 275
例题解析 276
题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量 276
题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 279
题型三 特征值与特征向量的逆问题 281
题型四 有关特征值与特征向量的证明题 283
2相似矩阵及矩阵的相似对角化 285
考点梳理 285
一、基本概念 285
二、重要性质、公式与结论 285
例题解析 286
题型一 相似的矩阵的性质及其判定 286
题型二 方阵的对角化问题 289
3实对称矩阵及其相似对角化 293
考点梳理 293
一、基本概念 293
二、重要性质、公式与结论 293
例题解析 294
题型一 实对称矩阵的性质 294
题型二 实对称矩阵的对角化 299
第六章 二次型 306
大纲解读 306
考试内容 306
考试要求 306
大纲知识点精解 306
1二次型的定义、矩阵表示 306
考点梳理 306
基本概念 306
2化二次型为标准形和规范形 307
考点梳理 307
一、基本概念 307
二、重要性质、公式与结论 308
3合同矩阵 309
考点梳理 309
一、基本概念 309
二、重要性质、公式与结论 309
4正定二次型与正定矩阵 309
考点梳理 309
一、基本概念 309
二、重要性质、公式与结论 309
例题解析 310
题型一 二次型的基本概念 310
题型二 线性变换 312
题型三 化二次型为标准形和规范形 313
题型四 矩阵的合同 318
题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明 320
后记 327