第一部分 1
第1章 数、函数与图形 1
1.1 引言 1
1.2 数轴与坐标平面 毕达哥拉斯 2
1.3 直线的斜率和方程 11
1.4 圆与抛物线 笛卡儿和费马 15
1.5 函数的概念 22
1.6 函数的图形 30
1.7 三角函数的引入 函数sinθ和cosθ 37
复习小结：定义、概念及方法 46
附加问题 47
第2章 函数的导数 51
2.1 什么是微积分 切线问题 51
2.2 如何计算切线的斜率 53
2.3 导数的定义 58
2.4 速度与变化率 牛顿和莱布尼茨 62
2.5 极限的概念 两个三角函数的极限 68
2.6 连续函数 中值定理和其他定理 74
复习小结：定义、概念及方法 81
附加问题 81
第3章 导数的运算 83
3.1 多项式函数的导数 83
3.2 函数积、商的求导法则 88
3.3 复合函数求导和链式法则 92
3.4 一些三角函数的导数 98
3.5 隐函数和分数指数函数的求导 102
3.6 高阶导数 107
复习小结：概念、公式及方法 111
附加问题 111
第4章 导数的应用 115
4.1 递增函数与递减函数 最大值与最小值 115
4.2 凹性与拐点 120
4.3 最大值和最小值问题的应用 123
4.4 更多最大／最小值问题 光的反射与折射 131
4.5 复合函数的变化率 139
4.6 牛顿法解方程 143
4.7 （选学）经济学上的应用 边际分析法 146
复习小结：概念及方法 156
附加问题 156
第5章 不定积分和微分方程 163
5.1 引言 163
5.2 微分与切线逼近 163
5.3 不定积分 换元积分法 170
5.4 微分方程 分离变量法 178
5.5 重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞 181
复习小结：概念及方法 188
附加问题 188
第6章 定积分 190
6.1 引言 190
6.2 面积问题 191
6.3 “∑”符号与某些特殊求和 194
6.4 曲线下的面积 定积分 黎曼 197
6.5 极限思想下的面积计算 203
6.6 微积分基本定理 206
6.7 定积分的性质 213
复习小结：概念及方法 217
附加问题 217
附录：希波克拉底拱形 218
第7章 定积分的应用 221
7.1 引言：定积分的直观含义 221
7.2 两条曲线之间的面积 222
7.3 体积计算1：圆盘法 225
7.4 体积计算2：圆柱壳法 231
7.5 弧长 236
7.6 旋转曲面的面积 240
7.7 功和能 244
7.8 流体静力学 252
复习小结：概念与方法 254
附加问题 254
附录：阿基米德与球体体积 257
第二部分 260
第8章 指数函数与对数函数 260
8.1 引言 260
8.2 指数与对数的回顾 261
8.3 数e和函数y＝ex 264
8.4 自然对数函数y＝lnx欧拉 269
8.5 应用人口增长和放射性衰变 277
8.6 更多应用——控制人口增长等 283
复习小结：概念及公式 287
附加问题 288
第9章 三角函数 292
9.1 三角函数的回顾 292
9.2 正弦和余弦函数的导数 301
9.3 正弦和余弦函数的积分 蒲丰投针问题 306
9.4 其他四个三角函数的导数 310
9.5 反三角函数 313
9.6 简谐运动 钟摆问题 319
9.7 （选学）双曲函数 324
复习小结：定义及公式 330
附加问题 330
第10章 积分法 334
10.1 简介 基本公式 334
10.2 换元法 337
10.3 三角函数的积分 340
10.4 三角换元法 344
10.5 完全平方法 348
10.6 部分分式法 351
10.7 分部积分法 357
10.8 综合法 处理复杂类型的积分策略 362
10.9 数值积分 辛普森法则 369
复习小结：公式及方法 375
附加问题 375
附录1：悬链线或悬挂链曲线 378
附录2：沃利斯乘积：π/2=2/1·2/3·4/3·4/5·6/5·6/7… 380
附录3：莱布尼茨如何发现公式π/4=1-1/3+1/5-1/7+… 382
第11章 积分的进一步应用 384
11.1 离散系统的质心 384
11.2 形心 386
11.3 帕普斯定理 391
11.4 惯性矩 393
复习小结：定义及概念 396
附加问题 396
第12章 不定式和反常积分 398
12.1 简介 中值定理的回顾 398
12.2 “0/0”型不定式：洛必达法则 400
12.3 其他类型的不定式 404
12.4 反常积分 409
12.5 正态分布 高斯 414
复习小结：定义及概念 424
附加问题 424
第13章 常数项无穷级数 427
13.1 什么是无穷级数 427
13.2 收敛数列 432
13.3 收敛和发散级数 439
13.4 收敛级数的一般性质 445
13.5 正项级数 比较判别法 451
13.6 积分判别法 欧拉常数 455
13.7 比值判别法和根值判别法 461
13.8 交错级数的判别 绝对收敛 465
复习小结：定义、概念及判别法 470
附加问题 470
附录1：欧拉发现公式？1/n2=π2/6 476
附录2：更多关于无理数的问题：证明π为无理数 478
附录3：关于级数∑1/pn，其中Pn为素数 480
第14章 幂级数 483
14.1 引言 483
14.2 收敛区间 484
14.3 幂级数的微分与积分 489
14.4 泰勒级数和泰勒公式 494
14.5 应用泰勒公式的计算 504
14.6 微分方程的应用 509
14.7 （选学）幂级数的运算 514
14.8 （选学）复数和欧拉公式 521
复习小结：定义、公式及方法 523
附加问题 523
附录：伯努利数和欧拉的一些美妙的发现 525
第三部分 529
第15章 圆锥曲线 529
15.1 引言 圆锥截面 529
15.2 重新审视圆与抛物线 531
15.3 椭圆 535
15.4 双曲线 543
15.5 焦点-准线-偏心的定义 550
15.6 （选学）二次方程 绕坐标轴旋转 552
复习小结：定义及性质 557
附加问题 558
第16章 极坐标 560
16.1 极坐标系 560
16.2 极坐标方程的更多图像 564
16.3 圆、圆锥曲线和螺旋线的极坐标方程 569
16.4 弧长和切线 575
16.5 极坐标中的面积 580
复习小结：定义及公式 583
附加问题 583
第17章 参数方程及平面内的向量 586
17.1 曲线的参数方程 586
17.2 摆线和其他类似曲线 592
17.3 向量代数 单位向量i和j 600
17.4 向量函数的导数 速度和加速度 605
17.5 曲率和单位法向量 611
17.6 加速度的切分量和法分量 615
17.7 开普勒定律和牛顿的万有引力定律 619
复习小结：定义及公式 627
附加问题 627
附录1：最速降线问题的伯努利解法 629
第18章 三维空间的向量与曲面 632
18.1 三维空间的坐标和向量 632
18.2 两个向量的标量积 636
18.3 两个向量的向量积 640
18.4 直线和平面 646
18.5 圆柱和旋转曲面 653
18.6 二次曲面 656
18.7 圆柱坐标和球面坐标 661
复习小结：定义及方程 664
第19章 偏导数 665
19.1 多元函数 665
19.2 偏导数 669
19.3 曲面的切平面 675
19.4 增量和微分 基本引理 679
19.5 方向导数和梯度 681
19.6 偏导数的链式法则 686
19.7 最大值和最小值问题 692
19.8 条件极值 拉格朗日乘数法 696
19.9 （选学）拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程 拉普拉斯和傅里叶 702
19.10 （选学）隐函数 708
复习小结：定义及方法 713
第20章 重积分 714
20.1 累次积分-体积 714
20.2 二重积分和累次积分 718
20.3 二重积分的物理应用 722
20.4 极坐标下的二重积分 726
20.5 三重积分 731
20.6 圆柱坐标 736
20.7 球面坐标 万有引力定律 739
20.8 曲面面积 勒让德公式 744
复习小结：方法和公式 748
附录：欧拉公式？1/n2=π2/6的二重积分证明 748
第21章 曲线积分和曲面积分 格林公式高斯公式和斯托克斯公式 751
21.1 平面上的曲线积分 751
21.2 与路径无关：保守场 758
21.3 格林公式 764
21.4 曲面积分与高斯公式 771
21.5 斯托克斯公式 778
21.6 麦克斯韦方程组 终极思考 784
复习小结：概念及定理 786
附录 787
A 微积分定理 787
A.1 实数系 787
A.2 极限定理 791
A.3 连续函数的一些延伸性质 796
A.4 中值定理 800
A.5 连续函数的积分 804
A.6 微积分基本定理的另一种证明 808
A.7 无长度的连续曲线 808
A.8 e=？(1+h)1/h的存在性 811
A.9 不可积函数 812
A.10 反代换积分的有效性 817
A.11 部分分式分解定理的证明 818
A.12 拉贝和高斯的比值判别法 821
A.13 绝对收敛和条件收敛 825
A.14 狄利克雷判别法 狄利克雷 830
A.15 幂级数的一致收敛 834
A.16 幂级数的除法 836
A.17 混合偏导数的相等性 837
A.18 带积分符号的微分法 838
A.19 基本引理的证明 839
A.20 隐函数定理的证明 840
A.21 重积分的变量代换 雅可比矩阵 841
B 回顾一些知识 845
B.1 二项式定理 845
B.2 数学归纳法 849
解答 856
索引 876