第一部分 背景知识 2
第1章 读者必读 2
1.1 读者的教育背景 2
1.2 写作此书的缘由 2
1.3 滤波的名称 4
1.4 本书范围 4
1.5 仿真器 5
1.5.1 实际场景 5
1.5.2 仿真器 5
1.6 符号 7
1.6.1 精度 9
1.7 两个重要的词 9
1.8 滤波过程 10
1.9 误差／协方差矩阵一致性 12
1.10 克拉美罗一致性 12
1.10.1 单变量克拉美罗一致性 13
1.10.2 多元克拉美罗一致性 13
1.11 综合考虑ECM一致和CR一致 14
1.12 卡尔曼／施威林不稳定性 15
1.13 滤波存储器 18
1.14 8种性能监视器 19
1.15 本书的用途 19
附录1.1 滤波存储器 21
第2章 模型、微分方程和转移矩阵 24
2.1 线性 24
2.1.1 线性方程组 24
2.1.2 线性无关 25
2.1.3 直线性和微分方程 25
2.1.4 常系数线性微分方程 26
2.1.5 线性时变微分方程 27
2.1.6 非线性微分方程 27
2.2 两类模型 29
2.2.1 外部模型 30
2.2.2 滤波模型 30
2.2.3 处理微分方程的方法 32
2.3 基于多项式微分方程的模型 32
2.3.1 标记 32
2.3.2 转移矩阵和转移方程 33
2.3.3 转移方程中隐含的曲线 34
2.3.4 观测轨迹 34
2.3.5 三维空间中的表示 35
2.3.6 等距的观测瞬间 36
2.4 基于常系数线性微分方程的模型 37
2.4.1 转移矩阵的一种求解方法 38
2.4.2 每个转移矩阵都是非奇异的 38
2.4.3 常系数线性微分方程的转移矩阵一般求解方法 38
2.4.4 支配转移矩阵的微分方程 39
2.5 基于线性时变微分方程的模型 39
2.5.1 与常系数线性微分方程的比较 40
2.5.2 转移矩阵φ（tn＋ζ，tn）求解 40
2.6 基于非线性微分方程的模型 41
2.6.1 局部线性化方法 42
2.6.2 使用线性时变微分方程的结果 44
2.6.3 小结 45
2.6.4 解析解的例子 46
2.7 数值偏微分 49
附录2.1 向量组的线性独立 50
附录2.2 多项式转移矩阵 51
附录2.3 转移矩阵φ（tn＋ζ，tn）的微分方程起源 53
附录2.4 局部线性化的方法 54
附录2.5 定理2.1 的证明：每个过渡矩阵φ（ζ）是非奇异的 55
附录2.6 求过渡矩阵的一般方法 56
第3章 观测方案 59
3.1 滤波的工作方式 59
3.1.1 真实状态向量X 60
3.1.2 观测方程 60
3.1.3 四种情况 60
3.2 情况1：线性滤波模型，线性观测方程 61
3.2.1 观测向量序列 62
3.2.2 构建T的两个矩阵 63
3.2.3 线性独立的必要性 63
3.3 情况4：非线性滤波模型，非线性观测方程 63
3.3.1 应用于观测方程的局部线性化 65
3.3.2 观测序列 67
3.4 情况3：非线性滤波模型，线性观测方程 68
3.5 情况2：线性滤波模型，非线性观测方程 70
3.6 总结 72
3.7 将T矩阵合并入滤波器 73
3.7.1 结论 74
附录3.1 ENU（EAST-NORTH-UP）坐标 76
第4章 随机向量和协方差矩阵理论 77
4.1 随机变量 77
4.1.1 平均值和期望 78
4.1.2 方差和标准差 79
4.1.3 协方差矩阵—理论和实际 79
4.2 随机向量和协方差矩阵 80
4.2.1 随机向量 80
4.2.2 随机矩阵 80
4.2.3 协方差矩阵 81
4.2.4 协方差矩阵——理论和实际 82
4.2.5 相关矩阵 82
4.2.6 不相关的随机向量 83
4.2.7 随机向量的线性变换 83
4.2.8 X和Nx的协方差矩阵 85
4.2.9 非相关向量之和／差的协方差矩阵 85
4.2.10 相关性和独立性 86
4.2.11 高斯随机向量的线性变换 86
4.3 协方差矩阵的正定性 87
4.3.1 正定性 87
4.3.2 几何解释 88
4.3.3 三个示例 89
4.4 正定矩阵的性质 90
4.4.1 矩阵的秩 91
4.4.2 关于正定矩阵的三个重要定理 91
4.5 最后几项 92
4.5.1 半正定矩阵 92
4.5.2 半正定矩阵的特性 93
4.5.3 由线性代数得到的重要结论 93
附录4.1 对正定性的几何解释 95
第5章 滤波工程中随机向量和协方差矩阵 97
5.1 随机向量和协方差矩阵的变换 97
5.1.1 变换方程 97
5.1.2 协方差矩阵的非线性变换 98
5.1.3 三条结论 100
5.1.4 小结 101
5.2 观测误差的协方差矩阵 101
5.3 估计误差的协方差矩阵 103
5.3.1 实际估计误差向量N 103
5.3.2 滤波矩阵W 103
5.3.3 滤波协方差矩阵S 104
5.3.4 误差／协方差矩阵的一致性 105
5.3.5 完整的滤波器 106
5.4 生成预测的方法 106
5.5 实际观测误差协方差矩阵 106
5.5.1 关于N＊的评论 106
5.6 T矩阵的列秩 107
附录5.1 随机向量和协方差矩阵的非线性变换 108
附录5.2 矩阵W行的线性独立性 109
第6章 偏移误差 110
6.1 简介 110
6.2 总体 110
6.3 观测中的偏移误差 111
6.3.1 校准和轴线校准 112
6.4 估计中的误差 113
6.4.1 估计中的随机误差 113
6.4.2 估计中的偏移误差 114
6.5 精确约束条件 114
6.6 无限多满足精确约束条件的W矩阵 115
6.7 观测向量发生偏移误差的场合 116
6.7.1 有偏观测和拟合优度检验 116
6.8 滤波模型与外部模型不同的情形 117
6.9 偏移误差说明 118
6.10 总结 118
附录6.1 高斯论随机误差和偏移误差 120
附录6.2 定理6.2的证明 121
第7章 ECM一致性的三种检验 123
7.1 端到端 123
7.2 矩阵到矩阵的ECM检验 124
7.2.1 两个矩阵之间的比较 125
7.2.2 关于比矩阵的注意事项 125
7.2.3 实例 126
7.3 三类检验的框图 127
7.4 多元高斯和卡方PDF 128
7.4.1 多元高斯随机变量 128
7.4.2 卡方随机变量 128
7.5 单次3-sigma ECM检验 130
7.5.1 单次3-sigma ECM检验 130
7.6 单次卡方ECM检验（单次仿真卡方ECM检验） 131
7.6.1 单次卡方ECM检验 131
7.7 3-sigma和卡方检验的不足 132
7.7.1 检验实例 133
7.8 3-sigma和卡方检验的补充说明 133
7.8.1 偏移误差的存在 133
7.8.2 矩阵求逆问题 133
7.8.3 示范 134
7.9 四次计算机运行示例 135
7.10 结论 135
附录7.1 非奇异变换之下的卡方恒定性 136
第二部分 非递归滤波 140
第8章 最小方差和高斯—埃特肯滤波 140
8.1 简介 140
8.1.1 最小方差 140
8.1.2 MVA和滤波的命名 140
8.2 残差 141
8.2.1 加权残差平方之和 142
8.3 推导MVA：方法一 143
8.3.1 寻找X minvar 144
8.3.2 获取算法的第2版 144
8.4 MVA的属性 145
8.4.1 MVA的ECM一致性 146
8.4.2 实验验证 147
8.4.3 MVA的CR一致性 147
8.5 高斯—埃特肯滤波（版本1和版本2） 148
8.5.1 高斯—埃特肯滤波的运行 149
8.6 高斯—埃特肯滤波的灵活性 151
8.6.1 滤波内存 151
8.6.2 滤波模型 152
8.7 设计两个高斯—埃特肯滤波 152
8.8 版本1提供的选择 152
8.8.1 矩阵RY和它的逆 152
8.8.2 如果观测结果是阶段相关 153
8.9 非递归和递归最小方差 153
8.9.1 合并观测结果的规则 154
8.9.2 非递归法和递归法 155
8.9.3 MVA的两种形式 156
8.9.4 形成更高的维度最小方差估计 157
8.9.5 进一步扩展 158
8.9.6 数据融合 159
8.9.7 递归算法必须初始化 159
8.9.8 非递归算法不需要初始化 160
8.9.9 组合观测的基本假设 160
附录8.1 e（X n，n）的最小化 161
附录8.2 MVA滤波器协方差矩阵S minvar 162
附录8.3 获得协方差矩阵RY 163
第9章 最小方差和高斯—牛顿滤波 164
9.1 求解MVA的第二种方法 164
9.1.1 问题的一般描述 164
9.1.2 问题的数学描述 165
9.1.3 解决问题 166
9.1.4 最小方差法 167
9.1.5 充要条件 169
9.1.6 最小方差和克拉美罗 169
9.1.7 预测和逆推最小方差 170
9.2 三个CR一致性检验 170
9.3 求解MVA的其他方法 171
9.4 最小方差和最小二乘法 172
9.5 高斯—牛顿滤波 172
9.5.1 周期和迭代 173
9.5.2 6种高斯—牛顿滤波器 173
9.6 高斯—牛顿滤波的初始化 174
9.7 改进的高斯—牛顿滤波 174
附录9.1 定理9.1证明 175
附录9.2 最小方差和克拉美罗 177
A9.2.1 最小方差 177
A9.2.2 克拉美罗 177
A9.2.3 多元高斯误差 178
附录9.3 最小方差算法和最大似然估计 179
附录9.4 观测误差组合理论摘录 180
第10章 主控制算法和拟合优度 181
10.1 简介 181
10.2 背景 181
10.2.1 运动类型 181
10.2.2 滤波模型 182
10.2.3 雷达 182
10.2.4 目标的数量 182
10.2.5 T矩阵 182
10.2.6 四种运动序列 183
10.3 用于高斯—埃特肯滤波的MCA 183
10.3.1 概述 183
10.3.2 MCA-1细节 184
10.3.3 MCA运行的两个例子 186
10.3.4 小结 188
10.4 拟合优度检验简述 188
10.4.1 GOF检验概述 189
10.4.2 注释 189
10.5 GOF检验的独立实现 190
10.5.1 演示 190
附录10.1 MCA-2 192
附录10.2 GOF检验所基于的定理10.1 196
第三部分 递归滤波 198
第11章 卡尔曼／施威林滤波 198
11.1 导言 198
11.1.1 什么是卡尔曼滤波 198
11.1.2 非递归／递归二元性 199
11.2 施威林滤波 199
11.3 卡尔曼滤波 201
11.3.1 过程噪声和自身ECM不一致性 201
11.3.2 卡尔曼／施威林自身ECM不一致（不稳定）的例子 202
11.3.3 卡尔曼滤波方程的推导 202
11.4 高斯、施威林和卡尔曼滤波的等价性 203
11.4.1 说明 204
11.5 卡尔曼／施威林滤波不一致性的困境 204
11.5.1 卡尔曼／施威林滤波不一致性的困境 204
11.6 结论 205
附录11.1 情况1的卡尔曼滤波的推导 206
附录11.2 卡尔曼／施威林不一致性困境的分析证明 207
附录11.3 三种滤波等价的数值证据 209
附录11.4 包含Q矩阵的扩展卡尔曼／施威林滤波的CR不一致性增长 211
第12章 多项式滤波器—1 213
12.1 概述 213
12.2 多项式滤波及特性 213
12.2.1 五个假设 213
12.2.2 版本 214
12.2.3 算法 214
12.2.4 应用程序 214
12.2.5 周期数 215
12.2.6 滤波的输入 216
12.2.7 抽样间隔时间 216
12.2.8 框图 216
12.2.9 获得X＊和Z＊的两种方法 218
12.2.10 算法的基本结构 218
12.2.11 梳理 219
12.2.12 自初始化的EMP滤波 220
12.2.13 非自初始化的FMP滤波 221
12.2.14 有增长记忆的EMP滤波 222
12.2.15 有衰减记忆的FMP滤波 223
12.2.16 方差缩减 224
12.2.17 一步预测EMP滤波VRF表达式 226
12.2.18 一步预测FMP滤波的VRF表达式 228
12.2.19 去规范化协方差矩阵的近似表达式 229
12.2.20 跟踪能力、ECM一致性和CR一致性 230
12.2.21 坐标系的选择 231
12.2.22 排除异常 233
12.2.23 遗漏检测 234
12.2.24 量化FMP滤波的记忆长度 234
12.2.25 快速稳定 236
12.2.26 固定长度和可变长度EMP滤波 238
12.2.27 复合EMP/FMP滤波器 240
12.2.28 预滤波 244
12.2.29 西格玛监控测试 247
12.2.30 结论 248
附录12.1 0～4阶一步预测EMP算法 249
附录12.2 0～4阶一步预测FMP算法 250
附录12.3 0～4阶当前预测EMP算法 251
附录12.4 0～4阶当前预测FMP算法 252
第13章 多项式滤波器—2 253
13.1 EMP方程的推导 253
13.1.1 近似多项式 253
13.1.2 经典最小二乘法 254
13.1.3 离散勒让德正交多项式 254
13.1.4 利用勒让德正交多项式为基 256
13.1.5 使用勒让德多项式进行最小二乘法 256
13.1.6 利用β写出逼近多项式 257
13.1.7 真实状态向量的估计 258
13.1.8 EMP递归的形成 259
13.2 EMP协方差矩阵 260
13.2.1 对角元素的数学表达式 261
13.2.2 协方差矩阵的数值计算 263
13.2.3 零阶导数估计方差的递归公式 265
13.2.4 验证EMP协方差矩阵的表达式 266
13.3 推导FMP方程 266
13.3.1 近似多项式 266
13.3.2 经典最小二乘法 267
13.3.3 离散拉盖尔正交多项式 268
13.3.4 使用拉盖尔正交多项式为基 269
13.3.5 使用拉盖尔多项式最小二乘法 269
13.3.6 使用β描述逼近多项式 270
13.3.7 估计真实状态向量 270
13.3.8 FMP的递归公式 272
13.4 FMP协方差矩阵 272
13.4.1 归一化FMP协方差矩阵 272
13.4.2 去归一化 273
13.4.3 验证FMP协方差矩阵的表达式 274
附录13.1 离散勒让德正交多项式 275
附录13.2 三勒让德P矩阵 276
附录13.3 离散拉格朗日正交多项式 278
附录13.4 拉格朗日A（θ）矩阵 279
附录13.5 拉格朗日F（s，θ）矩阵 280
参考文献 281
致谢 288